Uniforme Continuita' e varie

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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Uniforme Continuita' e varie

#1 Messaggioda Skip » giovedì 23 aprile 2015, 17:02

Professore, avevamo un dubbio su questa tipologia di esercizio:
Studiare l'eventuale Holderianita', Lipschitzianita' e Uniforme Continuita' della funzione \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{\arctan \sqrt{t}}\, dt.
Siamo giunti alla conclusione che sia uniformemente continua e non Lipschitziana, ma la domanda e': riguardo l'Holderianita'?
Dopo varie follie ci e' uscita 1\3 Holder (ma forse e' sbagliata)... Esistono altri metodi per rispondere alla domanda (sia con un Si che con un NO), che non implichino l'elevare la funzione alla alpha, derivarla e controllare la sua lip. (metodo assolutamente illegale, ce ne rendiamo conto), e che non comportino l'applicazione diretta della definizione (anche perche', dopo averla scritta, non riusciamo ad andare avanti >.>)?

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Massimo Gobbino
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Re: Uniforme Continuita' e varie

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 23 aprile 2015, 17:05

Beh, intanto 2 passaggini in brutal mode possono aiutare :wink:. Per ora non mi sbilancio di più!

E sposto nella sezione giusta ...

Albert95
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Re: Uniforme Continuita' e varie

#3 Messaggioda Albert95 » venerdì 24 aprile 2015, 10:02

Ciao, ho provato a svolgerlo di nuovo e ho pensato:
Sviluppando in 0 noto che l'integranda va come \frac{1}{\sqrt{t}+o(t)} e quindi posso dire che è al massimo \frac{1}{4}-Holder vedendo che l'integrale è una radice quarta (mi basta dire ciò per giustificare? o bisogna trattare anche gli o-piccoli?)
\forall x\in (0,1), ma in generale su tutto il semiasse positivo, \arctan(\sqrt{t)}\le \sqrt(t)
Quindi \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{\arctan \sqrt{t}}\, dt\le\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{t}}\, dt=\sqrt[4]{x}.
Questa è un quarto Holder, quindi anche la precedente lo era.
tutto ciò ci garantisce che la funzione in (0,1) non è Lipschitziana, ma è solo uniformemente continua.
Per quanto riguarda l'intervallo [1,\infty) la funzione è Lipschitziana dal momento che la sua derivata è: \frac{1}{\arctan \sqrt[4]{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}\le \frac{\pi}{8}
Si conclude per rincollamento. :D

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Re: Uniforme Continuita' e varie

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 24 aprile 2015, 10:31

A pensare brutalmente si fa peccato, ma ci si becca quasi sempre :D.

Ora bisogna cambiare personalità e dimostrare il tutto rigorosamente usando le definizioni e opportune disuguaglianze :mrgreen: :mrgreen:

E stare attenti alle disuguaglianze al contrario ed al precorso :lol:


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