Funzioni 12 - Esercizio 7

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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Ancient Mariner
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Funzioni 12 - Esercizio 7

#1 Messaggioda Ancient Mariner » lunedì 8 giugno 2015, 21:29

Qualcuno può darmi un input su come risolvere l'esercizio 7 di funzioni 12? Chiede di determinare, al variare del parametro λ>0, le soluzioni di x^λ=λ^x. Più che disegni molto empirici di assai dubbia utilità finora non mi è venuto in mente :?

C_Paradise
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Re: Funzioni 12 - Esercizio 7

#2 Messaggioda C_Paradise » martedì 9 giugno 2015, 18:55

Ciao! Non so se eri in classe stamattina ma è stato fatto proprio questo esercizio.
Il suggerimento del professore è stato quello di usare lo slogan "e alla"!
Fissato \lambda si ha che x risolve x^\lambda=\lambda^x \iff e^{\lambda \ln x}=e^{x\ln \lambda quindi per l'iniettività della funzione esponenziale possiamo ridurre il problema di partenza a quello di trovare le soluzioni di \lambda \ln x = x\ln \lambda puoi quindi studiare \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln \lambda}{\lambda} \quad o \quad \frac{x}{\ln x}=\frac{\lambda}{\ln \lambda} la prima sembra più pulita da studiare, ma il grafico della seconda è forse più espressivo, anche se le informazioni si devono poter leggere in entrambi. Prendiamo quindi la seconda, studiando la derivata ci accorgiamo che si annulla per x=e che è positiva per valori di x maggiori e negativa per valori di x compresi strettamente tra 1 ed e, quindi e è un punto di minimo locale, in particolare è un (il) punto di minimo della funzione ristretta a \left ( 1, +\infty \right) (basta applicare Weierstrass generalizzato), in questo punto la funzione, coincidenza, vale e. Inoltre la funzione presenta un asintoto verticale in x=1, quindi detto \frac{\lambda}{\ln \lambda}=\mu notiamo che per valori di \mu > e abbiamo almeno due soluzioni, puoi applicare il teorema di esistenza dei valori intermedi in \left (1, e \right] e in \left[e, +\infty \right) ma essendo e il minimo in \left ( 1, +\infty \right) abbiamo (traducendo in \lambda ciò che abbiamo dedotto per \mu) che \forall \lambda \in \left( 1, +\infty \right)\setminus \left \{ e \right\} ci sono almeno due soluzioni; se \lambda=e abbiamo invece almeno una sola soluzione. Se guardiamo l'intervallo \left (0, 1\right) la nostra f\left( x \right)=\frac{x}{\ln x} è negativa quindi gli almeno diventano esattamente. Se \mu \in \left( 0, e\right) non esistono valori di \lambda>0 tali che f\left( \lambda \right)=\mu quindi non ci poniamo il problema. Se \mu<0 c'è una sola soluzione perché la funzione è iniettiva in \left (0, 1\right) intoltre il limite per x che va a 0 da destra è 0, e per x che va a 1 da sinistra è meno infinito quindi sempre per il teorema dei valori intermedi hai una soluzione, l'unicità la ottieni perché altrove la funzione è positiva, traducendo in \lambda abbiamo che per \lambda \in \left(0, 1 \right) si ha un'unica soluzione. Spero di aver reso l'idea :D

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Re: Funzioni 12 - Esercizio 7

#3 Messaggioda Ancient Mariner » mercoledì 10 giugno 2015, 14:22

Grazie mille. Nel frattempo mi è venuta un'idea carina, forse più semplice. Sapete dirmi se funziona o se sono stato troppo brutale in qualche passaggio? (specie all'inizio dove ho "giocato" allegramente con gli esponenti, anche se essendo tutto positivo dovrebbe andar bene...)
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Re: Funzioni 12 - Esercizio 7

#4 Messaggioda Ancient Mariner » mercoledì 10 giugno 2015, 14:36

Ah, per chiarezza, al terzo passaggio della prima riga ho scritto λ/x ma intendevo ovviamente x/λ

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Re: Funzioni 12 - Esercizio 7

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 16 giugno 2015, 13:35

Ancient Mariner ha scritto:Nel frattempo mi è venuta un'idea carina, forse più semplice.


Beh, alla fine hai studiato la funzione x^{1/x}, che non è molto diverso da studiare \dfrac{\log x}{x} :wink:


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