Piccolo problema di definizione di derivata destra e sinistr

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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Giuseppe95
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Piccolo problema di definizione di derivata destra e sinistr

#1 Messaggioda Giuseppe95 » lunedì 15 febbraio 2016, 12:19

Salve, è tutto il giorno che ci penso: la derivata destra in un punto x0 di una funzione f(x) è uguale al limite per h che tende a 0 da destra del rapporto incrementale (e fin qui ci siamo) ma è vero che è uguale anche al limite per x che tende ad x0 da destra della funzione derivata prima?
Cioè è vera l'uguaglianza nell'immagine in allegato?
P.S. ho dovuto allegare l'immagine perchè non so come scrivere qui le formule matematiche
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Massimo Gobbino
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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 15 febbraio 2016, 17:13

L'uguaglianza che hai scritto vale e non vale :lol: :lol: .

Detto meglio: se il limite scritto a sinistra esiste (basta nei reali estesi), allora quello scritto a destra esiste e coincide. Se quello scritto a sinistra non esiste, allora quello scritto a destra potrebbe esistere lo stesso. Usando liminf e limsup, sarebbe la solita catena a 4.

Sono tutti discorsi legati alla proprietà di Darboux delle derivate (vedi lezione 123 dell'anno scorso).

Carmine
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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#3 Messaggioda Carmine » lunedì 15 febbraio 2016, 17:18

Prof. mi ha anticipato di un minuto!

Considera la funzione seguente:

f(x)=\begin{cases} 0 , \quad x \not \in \mathbb{Q} \\ x^2, \quad x \in \mathbb{Q} \\ \end{cases}

In questo caso la funzione è continua in 0, in 0 il limite del rapporto incrementale, sia da destra che da sinistra, esiste e fa 0. Ma direi che df/dx fa ben fatica ad esistere... :D

Se invece df/dx esiste, allora il discorso si fa molto più semplice...

Giuseppe95
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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#4 Messaggioda Giuseppe95 » lunedì 15 febbraio 2016, 18:23

Grazie, mille. La cosa non mi è ancora completamente chiara ma sto iniziando a capirci qualcosa

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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#5 Messaggioda Giuseppe95 » lunedì 15 febbraio 2016, 18:25

E' giusto dire che l'uguaglianza è vera solo se la funzione è continua nel punto x0 ?

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Massimo Gobbino
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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 15 febbraio 2016, 18:33

No, se vai alla famosa lezione 123 trovi un altro esempio.

Giuseppe95
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Re: Piccolo problema di definizione di derivata destra e sin

#7 Messaggioda Giuseppe95 » lunedì 15 febbraio 2016, 22:53

La ringrazio, soprattutto per la sua disponibilità


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