teorema di Cauchy

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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teorema di Cauchy

#1 Messaggioda francicko » venerdì 26 agosto 2016, 13:40

Sapreste fornirmi un esempio in cui il teorema di Cauchy non risulti vero in quanto la funzione f'(x) si annulla per qualche punto interno all'intervallo (a,b);
Grazie!

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Re: teorema di Cauchy

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 27 agosto 2016, 21:07

Uhm, non capisco bene a cosa ti riferisci :? . Ma hai provato a guardare una lezione qualunque con il teorema di Cauchy, ad esempio la 98 del 2014/15?

P.S. Già che ci sono, sposto nella sezione giusta.

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Re: teorema di Cauchy

#3 Messaggioda francicko » domenica 28 agosto 2016, 18:07

La ringrazio per la risposta, quello che continuo a non capire e' che supponendo che la g'(x) si annulli in più punti all'interno dell'intervallo (a,b), e ' possibile tuttavia che risulti g(b) diverso da g(a) , o mi sbaglio ?

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Re: teorema di Cauchy

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 29 agosto 2016, 9:20

Certo che è possibile che g(b) e g(a) siano diversi anche se g'(x) si annulla 18 volte. E allora?

Il teorema di Cauchy ha due tesi. La prima (quella non divisa) vale sempre, indipendentemente dall'annullarsi di g'(x).

La seconda tesi (quella divisa) vale sempre se g' non si annulla mai. Se g' si annulla da qualche parte, la seconda tesi può valere o non valere a seconda dei casi, come mostrano gli esempi nelle lezioni.

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Re: teorema di Cauchy

#5 Messaggioda francicko » mercoledì 31 agosto 2016, 16:03

Comincio a capire, se supponiamo avessi le seguenti ipotesi:
f (a) diverso da f(b) ed g(a) diverso da g(b), con f ' (x) diversa da zero per ogni x , in questo caso il teorema di Cauchy sarebbe valido in ambedue le forme, mi sbaglio?

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Re: teorema di Cauchy

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 31 agosto 2016, 20:57

Esatto: questa in effetti è una interessante variante di Cauchy. Se g(a) è diverso da g(b) e f'(x) non si annulla mai, allora vale il Cauchy anche in versione divisa, nonostante che g'(x) possa annullarsi quante volte vuole (non serve nemmeno assumere che f(a) sia diverso da f(b), in quanto segue dal mancato annullamento della derivata).

Magari nel prossimo corso lo presento, sotto il nome di teorema di Cauchy-francisko :D :lol: .


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