Dubbi esercizi funzioni inverse

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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nick_97
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Dubbi esercizi funzioni inverse

#1 Messaggioda nick_97 » mercoledì 17 maggio 2017, 14:06

Buon pomeriggio a tutti! Svolgendo esercizi su Ricapitolazione-Funzioni inverse 1 e 2 sono nati alcuni dubbi riguardo due esercizi. Il primo è il numero 3 della scheda 121. Una volta risposto alle prime due domande, come si può studiare la convergenza dell'integrale al punto c)?
L'altro invece è il numero 5 della scheda 122 e le richieste un po più problematiche a mio avviso sono studiare i punti di non derivabilità, l'uniforme continuità, e l'holderianità della funzione inversa g(x). I problemi nascono dal fatto che le funzioni inverse non sono esprimibili per mezzo di funzioni elementari e dunque come ragionare?? Possono essere utili stime asintotiche??

C_Paradise
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Re: Dubbi esercizi funzioni inverse

#2 Messaggioda C_Paradise » giovedì 18 maggio 2017, 22:25

Ciao! Per quanto riguarda le domande (c) ed (f) dell'esercizio 5 della scheda 122 prova a vedere se può essere di aiuto studiare i punti in cui [math] per rispondere a (c) e pensa alla formula "brutale" della derivata della composta e vedi dove non può funzionare. Per (f) invece ci serve il punto (b) supponi infatti che [math] sia periodica allora sai che è uniformemente continua, infatti se [math] è il periodo di [math] poiché è continua su tutto [math] (in quanto [math] è continua perché ...) in particolare lo sarà su [math] quindi per Heine-Cantor è uniformemente continua su [math] ma essendo periodica lo è ovunque. A questo punto vedi [math] e usi il fatto che somma di funzioni UC è UC

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Re: Dubbi esercizi funzioni inverse

#3 Messaggioda C_Paradise » giovedì 18 maggio 2017, 23:19

Per l'Hölderianità uno per farsi un'idea può prendere intervallo [math] e vedere che c'è un problema in [math] infatti in [math] la funzione [math] non è derivabile. Per ogni [math] vale [math] per una opportuna costante positiva [math], pongo [math] e considero [math], per monotonia di [math] ottengo

[math] da cui

[math]

tira molto aria di [math]Hölder :wink:

PS: Dove si usa che l'insieme è limitato? Come esce la costante [math]?

nick_97
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Re: Dubbi esercizi funzioni inverse

#4 Messaggioda nick_97 » lunedì 22 maggio 2017, 23:03

Grazie mille! Tutto chiarissimo nella prima risposta.
Per l'holderianità la costante C potrebbe uscire dallo sviluppo della funzione?


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