Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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maimoneg
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Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#1 Messaggioda maimoneg » giovedì 8 marzo 2018, 19:13

Chiar. Prof. Gobbino
Nell'esercizio 29 della serie Gobbino_2017_analisi_1,
non riesco a capire perché la derivata 2015
_esima valutata in zero della funzione sin(x^5) debba essere 2015!/403!.

L'esposizione che viene fatta è:
Visto che per sin(t) è 1/(403)! , se al posto di t sostituisco il termine successivo avrò f^(2015)/2015!

Uso il simbolo f^(n) per indicare la derivata di ordine n valutata nel punto relativo allo sviluppo e valutata nell'origine.

Questo è vero nel linguaggio parlato, ma "avrò" o "ottengo", non equivale dire che c'è proporzionalità diretta tra un coefficiente e il successivo nella serie di Taylor, perché ci sono di mezzo i fattoriali.

Dire:

Al posto di 1/403! ci sarà f^(2015)/2015!, equivale a dire 1: 403! = f^(2015) : 2025! ????

Mi sembra che la linearità venga meno.
Dove sbaglio?

PS
Non ho intenzione di calcolarmi tutte le derivate.

GRAZIE come sempre per la Sua disponibilità.
Giuseppe Maimone.

Lorececco
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#2 Messaggioda Lorececco » mercoledì 14 marzo 2018, 17:39

Non serve alcun argomento di proporzionalità: il coefficiente del termine di grado 2015 del polinomio di Taylor di [math]? :D

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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 14 marzo 2018, 20:21

In effetti onestamente non capisco molte parti del post di maimoneg :(

Il discorso è che, posto [math], in astratto si ha che

[math]

mentre nel caso specifico, per composizione di sviluppi di Taylor, si ha che

[math]

Confrontando le due espressioni si ha la tesi, senza bisogno di considerare linearità o termini successivi (successivi a cosa, poi?).

Già che ci sono, sposto nella sezione giusta e metto un titolo ragionevole.

maimoneg
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#4 Messaggioda maimoneg » martedì 7 agosto 2018, 12:37

Ch.mo Prof (e gentili amici del forum)
Pensavo di avere capito, ma la mente mi ripropone il quesito ogni giorno. Non ci arrivo:

Ciò che si vuole trovare è il valore della derivata 2015_ma valutata nell'origine della funzione sin(x^5).

Io faccio questo ragionamento, ditemi dove non è logico.

Se il coefficiente di x^2015 nella serie di taylor di sin(X^5) è 1/(403!) perchè lo devo ancora cercare ?
Ciò vorrebbe dire che la derivata che cerco NON è 1/(403!).

In altri termini:

sin(x^5) = x^5 - x^15/3! + x^25/5! - x^35/7! +....- X^2015/(403!) è forse scorretta perchè "NON" si sono fatte le varie derivate di sin(x^5) prima, terza, quinta settima ecc..?

Ma se è scorretta, allora il termine (1/403!)x^2015 è scorretto pure lui perchè per arrivarci NON si sono fatte le derivate come sopra.

E allora, il termine (d/dx)^2015/2015! dello sviluppo di sin(x^5) ha molto di strano, perchè se al denominatore c'è 2015! al numeratore dovrei avere una x^10075.

Mi suona molto strano che che se ho sint = t-t^3(3!) + t^5/(5!)- ......ecc Che è corretta, e poi mi si dice che
nel caso di sin(x^n) debba fare una mera sostituzione sin(x^n) al posto di t e poi elevare alle rispettive potenze lasciando sempre (1/n!) come coefficiente anche per n grandissimi.
Ciò perchè con tutte le derivate della funzione sin(x^5) chissà quanti coseni ci saranno in giro, che valutati nell'origine e poi sommati daranno certamente qualcosa diversa da 1.

Il mio discorso sembrerebbe o è illogico, ma io penso a sin(t) dove t è una variabile al primo grado e giustamente ad un certo punto incontro il termine 2015_esimo/2015!.

Le derivate saranno (cost, -sint, - cost, sint) che in zero mi danno 1,0,-1, 0 e poi si ripetono ciclicamente.
Nel caso di sin t^5 ciò non è più vero.

Poi nello sviluppo se devo sostituire t = X^5 dove x^5 non è più al primo grado (funzione composta sin(x^5) ) f(g(x)), vado in tilt, perchè mi si dicono due cose:
La prima che il coefficiente del termine cui c'è x^2015 è 1/(403!)
La seconda che devo andarmi a cercare la derivata 2015ma e devo dividerla per 2015!

E' come se mi dicessero: è così e basta. Tu limitati a sostituire e non porti domande.

Non penso che come me, non si sia intrappolato nessuno, e che tutti hanno capito tranne io.

Un grazie anticipato per la risposta.

keine_ahnung
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#5 Messaggioda keine_ahnung » sabato 18 agosto 2018, 14:40

Nel momento in cui sostituisci [math] nello sviluppo di Taylor, il termine che nello sviluppo di [math] era [math] diventa [math], ma il coefficiente di quel termine non è la derivata di [math], in quanto quel termine è diviso per [math] e non per [math]

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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 18 agosto 2018, 15:43

In ogni caso lo sviluppo

[math]

è corretto (e si dimostra per composizione di sviluppi).


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