Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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maimoneg
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Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#1 Messaggioda maimoneg » giovedì 8 marzo 2018, 19:13

Chiar. Prof. Gobbino
Nell'esercizio 29 della serie Gobbino_2017_analisi_1,
non riesco a capire perché la derivata 2015
_esima valutata in zero della funzione sin(x^5) debba essere 2015!/403!.

L'esposizione che viene fatta è:
Visto che per sin(t) è 1/(403)! , se al posto di t sostituisco il termine successivo avrò f^(2015)/2015!

Uso il simbolo f^(n) per indicare la derivata di ordine n valutata nel punto relativo allo sviluppo e valutata nell'origine.

Questo è vero nel linguaggio parlato, ma "avrò" o "ottengo", non equivale dire che c'è proporzionalità diretta tra un coefficiente e il successivo nella serie di Taylor, perché ci sono di mezzo i fattoriali.

Dire:

Al posto di 1/403! ci sarà f^(2015)/2015!, equivale a dire 1: 403! = f^(2015) : 2025! ????

Mi sembra che la linearità venga meno.
Dove sbaglio?

PS
Non ho intenzione di calcolarmi tutte le derivate.

GRAZIE come sempre per la Sua disponibilità.
Giuseppe Maimone.

Lorececco
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#2 Messaggioda Lorececco » mercoledì 14 marzo 2018, 17:39

Non serve alcun argomento di proporzionalità: il coefficiente del termine di grado 2015 del polinomio di Taylor di [math]? :D

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Massimo Gobbino
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 14 marzo 2018, 20:21

In effetti onestamente non capisco molte parti del post di maimoneg :(

Il discorso è che, posto [math], in astratto si ha che

[math]

mentre nel caso specifico, per composizione di sviluppi di Taylor, si ha che

[math]

Confrontando le due espressioni si ha la tesi, senza bisogno di considerare linearità o termini successivi (successivi a cosa, poi?).

Già che ci sono, sposto nella sezione giusta e metto un titolo ragionevole.

maimoneg
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Re: Derivata 2015-esima di sin(x^5) in x=0

#4 Messaggioda maimoneg » giovedì 22 marzo 2018, 14:16

Grazie per la risposta, in effetti mi sono impallato e non riuscivo a farmene una ragione.
Adesso è tutto chiaro.
Può capitare di avere qualche svista e me ne scuso.
L'importante che non abbia sviste quando magari rispondo a qualche altra richiesta degli altri.
Grazie ancora Prof. Gobbino.
Con immensa stima
Giuseppe Maimone.


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