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Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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zartom
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#1 Messaggioda zartom » lunedì 21 febbraio 2011, 1:27

Quesiti vari su internet...
Sia F(x)= Int(-1,x)(max[t^3-1 , -1]) dt allora
(sarebbe "Integrale che va da -1 a x di max( t^3 -1 , -1))
a) F(1)=max[-2 , -3/2]
b)5/4
c)-5/4
d)-7/4

Anzi tutto, non riesco a capire cosa chieda il quesito...E poi come trattare funzioni del genere?? Il max che devo considerare è mondo t o mondo y?


Sia f(x)= x^2-2x+1 per x non € Z e x^2+1 per x € Z . Perchè il minimo non esiste? Facendo la Derivata prima ottengo min=1 nella prima parte di f, ma 1 € Z, quindi ok. La seconda parte mi da min=0 quindi lo 0 non appartiene a Z?


Grazie

Noisemaker
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Re: Quesiti

#2 Messaggioda Noisemaker » martedì 18 settembre 2012, 13:05

zartom ha scritto:Quesiti vari su internet...

\displaystyle F(x)= \int_{-1}^{x}\max\{x^3-1 , -1\} dt allora

a) \displaystyle F(1)= \max\{-2 ,-3/2\}
b) \displaystyle   F(1)= 5/4
c) \displaystyle   F(1)=-5/4
d) \displaystyle   F(1)=-7/4

Anzi tutto, non riesco a capire cosa chieda il quesito...E poi come trattare funzioni del genere?? Il max che devo considerare è mondo t o mondo y?

Grazie


Io proverei cosi....

il quesito chiede di calcolare l'area sotto la curva della funzione \max\{t^3-1 , -1\}; conviene prima di tutto considerare il grafico indicativo della funzione

\displaystyle \max\{x^3-1 , -1\}

Immagine

Allora avremo che
\displaystyle \max\{x^3-1 , -1\}=\begin{cases} -1, & \mbox{se }x\le0  \\ x^3-1, & \mbox{se }x>0 
\end{cases}\quad \to \quad \displaystyle \int_{-1}^{x}\max\{t^3-1 , -t\} dt=\begin{cases} [-t]_{-1}^{x}, & \mbox{se }t\le0  \\ [t^4/4-t]_{-1}^{x}, & \mbox{se }t>0 
\end{cases}

distinguendo i casi abbiamo:

t\le 0:

\displaystyle F(x)= \int_{-1}^{x}\max\{t^3-1 , -1\} dt=[-t]_{-1}^{x}=1-x\quad \Rightarrow\quad F(1)=0

t>0:

\displaystyle F(x)= \int_{-1}^{x}\max\{t^3-1 , -1\} dt=\left[\frac{t^4}{4} -t\right]_{-1}^{x}= \displaystyle \frac{x^4}{4} -x-\frac{5}{4}\quad \Rightarrow\quad F(1)=-\frac{7}{4}
Ultima modifica di Noisemaker il mercoledì 19 settembre 2012, 20:21, modificato 1 volta in totale.

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Re: Quesiti

#3 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 19 settembre 2012, 20:21

zartom ha scritto:Quesiti vari su internet..

Sia f(x)= per x non € Z e x^2+1 per x € Z . Perchè il minimo non esiste? Facendo la Derivata prima ottengo min=1 nella prima parte di f, ma 1 € Z, quindi ok. La seconda parte mi da min=0 quindi lo 0 non appartiene a Z?


Grazie



\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2-2x+1, & \mbox{se }x\not \in \mathbb{Z} \\x^2+1, & \mbox{se} x \in \mathbb{Z} 
\end{cases}= \begin{cases} (x-1)^2 , & \mbox{se }x\not \in \mathbb{Z} \\x^2+1, & \mbox{se } x \in \mathbb{Z} 
\end{cases}

il minimo di f(x) non esiste in quanto la funzone ha punto di minimo in x=1\in\mathbb{Z} ed è determinato dalla a parte di funzione definita per i valori x\not\in \mathbb{Z}. Basterbbe disegnare il grafico di f(x)

Immagine

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Re: Quesiti

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 20:43

Quello dell'integrale non l'ho proprio capito. Fino allo spezzamento del massimo è ok, ma poi appena c'è l'integrale diventa insensato :? :?. E non ho nemmeno capito da dove verrebbe fuori il 7/4, visto che l'ultimo calcolo darebbe tutt'altro :?:


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