esercizio teorico

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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esercizio teorico

#1 Messaggioda Noisemaker » giovedì 16 agosto 2012, 10:53

gentile professore, vorrei capire come risolvere questo problema.


Sia f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione crescente (in senso deble) tale che la sua immagine f(\mathbb{R}) risulti un intervallo. Dimostrare che f è contina.

io ho fatto questo ragionamento:

sia I=f(\mathbb{R}); poiché f è monotona crecente, esiste la funzione inversa anch'essa monotona crescente che risulerà definita da f^{-1}: I\to \mathbb{R}; poichè l'inversa di una funzione continua è anch'essa continua, basterebbe dimostrare che la funzione f^{-1}: I\to \mathbb{R} risulta continua per concludere che f è continua. La funzione f^{-1}: I\to \mathbb{R} è monotaona crescente definita in un intervallo, e sappiamo che se anche l'insieme d'arrivo è un intervallo allora si può concludere che la funzione è continua; ma l'insieme d'arivo è \mathbb{R} che non è un intervallo, come si può concludere che f^{-1} e quindi f^ sia continua?

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Re: esercizio teorico

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 16 agosto 2012, 11:01

Noisemaker ha scritto:
poiché f è monotona crecente, esiste la funzione inversa


Se la monotonia è solo debole, non è detto che l'inversa esista. Pensa al caso di un tratto piatto ...

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Re: esercizio teorico

#3 Messaggioda Noisemaker » giovedì 16 agosto 2012, 11:06

...la strada è dunque sbagliata ..

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Re: esercizio teorico

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 16 agosto 2012, 11:11

Noisemaker ha scritto:...la strada è dunque sbagliata ..


Già :wink:

Riparti: cosa vuol dire dimostrare che è continua?

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Re: esercizio teorico

#5 Messaggioda Noisemaker » giovedì 16 agosto 2012, 11:35

Una funzione f è continua in x_0 se, per ogni successione x_n a valori nel dominio della funzione e convergente a x_0, la successione f(x_n) converge a f(x_0).

Il fatto che l'immagine sia un intervallo, ci suggerisce che la funzione è limitata; dunque esiste un numero M tale che |f(x)|<M

considerando una successione x_n\to x_0, la successione f(x_n) risulterà monotona crecente e limitata e dunque ammette limite finito; allora la funzione f risulta continua

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Re: esercizio teorico

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 16 agosto 2012, 14:34

Era molto meglio la partenza che ora hai cancellato :wink:

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Re: esercizio teorico

#7 Messaggioda Noisemaker » venerdì 17 agosto 2012, 8:17

Massimo Gobbino ha scritto:Era molto meglio la partenza che ora hai cancellato :wink:


quindi ancora non ci siamo...

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Re: esercizio teorico

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 17 agosto 2012, 9:03

No, per due motivi: non c'è ragione per cui f(x_n) debba essere monotona crescente e, se anche lo fosse (ma, ripeto, non è detto che lo sia), dovresti dimostrare che il suo limite è proprio f(x_0) e non qualcos'altro.

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Re: esercizio teorico

#9 Messaggioda Noisemaker » venerdì 17 agosto 2012, 16:34

...non ne esco!

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Re: esercizio teorico

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 17 agosto 2012, 17:18

Il limite da sinistra esiste. Perché? Il limite da destra esiste. Perché? Come si situano tali limiti rispetto ad f(x_0) ? Cosa succederebbe se fossero diversi tra di loro?

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Re: esercizio teorico

#11 Messaggioda Noisemaker » martedì 21 agosto 2012, 12:24

Riprovo:

consideriamo un punto x_0 \in\mathbb{R} e bisogna dimostrare che la funzione f è continua nel punto x_0, cioè che:

\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)= \lim_{x \to x_0^+}f(x)

Il Punto x_0^ è certamente di accumulazione per il dominio \mathbb{R} ed individua due insiemi A=\{x:x\in(-\infty,x_0)\} e B=\{x:x\in(x_0,+\infty)\} tali che A\cup B=\mathbb{R}.

Dimostriamo che il limite sinistro coincide con il vaolre della funzione nel punto x_0; l'altro caso è evidentemente analogo.

Poichè la funzione è monotona crescente in A, che ha come estremo superiore x_0 e dunque

\displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l=\sup_{A}f(x)

in tal caso per ogni valore di \displaystyle x\in A si ha che

f(x)\le l \le f(x_0)

I valori l e f(x_0) appartengono all'intervallo f(\mathbb{R}), pertanto, se essi fossero distinti, allora l'intervallo che li ha come estremi sarebbe incluso in f(\mathbb{R}), cioè:

(l,f(x_0))\subset f(\mathbb{R})

questo in realtà è un assurdo in quanto la funzione è monotona per ipotesi, e quindi per Ogni x\in \mathbb{R} si ha che :

f(x)\le l \quad \text{se}\quad x<x_0

f(x)\ge f(x_0) \quad \text{se}\quad x\ge x_0

pertanto nessun valore f(x) è compreso nell'intervallo (l,f(x_0)) (piochè abbiamo supposto l\le f(x_0) e non l = f(x_0))

Allora l'uguaglianza tra il limite l in x_0 e il valore valore della funzione f in x_0, cioè f(x_0) indica che la funzione f è continua.

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Re: esercizio teorico

#12 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 23 agosto 2012, 9:59

Le idee ora più o meno ci sono, ma ci sono molti dettagli che così non vanno. Ad esempio non è vero che A\cup B=\mathbb{R}, così come non è vero che l (definito come limite sinistro) sta nell'immagine della funzione, e così via ...

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Re: esercizio teorico

#13 Messaggioda Francesco » giovedì 23 agosto 2012, 12:58

Buongiorno.

La mia idea è la seguente.

Il limite da sinistra, così come quello da destra esistono perchè la funzione è monotona.

Se il limite da sinistra, e analogamente da destra, assumono valori diversi da f in x_0 allora i valori che assume la funzione non appartengono a un intervallo, contro l'ipotesi.

Tuttavia ho difficoltà a formalizzare per benino il concetto.

EDIT: corretto il "code"

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Re: esercizio teorico

#14 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 23 agosto 2012, 19:33

L'idea è corretta. Per formalizzarla, siano l_1 il limite da sinistra ed l_2 il limite da destra. Allora si ha che l_1\leq f(x_0)\leq l_2. Perché?

Se l_1=l_2, allora siamo felici ed abbiamo finito.

Se l_1<l_2, allora si tratta di far vedere che tutto l'intervallo (l_1,l_2) è contenuto nell'immagine della funzione. Perché questo è vero? Non perché l_1 ed l_2 sono a loro volta contenuti nell'immagine, in quanto questo non è detto che sia vero (basti pensare ad una f strettamente monotona ...). Però l'immagine contiene di sicuro roba minore di l_1 e roba maggiore di l_2 (perché?), quindi ...

Una volta che tutto l'intervallino (l_1,l_2) è contenuto nell'immagine della funzione, vuol dire che tutti i valori al suo interno devono essere presi. Ma in questo intervallino l'unico valore che può essere preso è f(x_0). Perché? Da qui l'assurdo è immediato.

Francesco
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Re: esercizio teorico

#15 Messaggioda Francesco » venerdì 24 agosto 2012, 12:14

Sia \displaystyle\lim_{x \to x_0^-}f(x)=l_1 e \displaystyle\lim_{x \to x_0^+}f(x)=l_2
( i limiti esistono finiti o infiniti perchè f è debolmente crescente. Il ragionamento che segue è stato pensato nel caso in cui i limiti siano finiti. Andrà adattato nel caso in cui uno o entrambi i limiti siano infiniti)

l_1 \le f(x_0) \le l_2 perchè

x_1 \le x_2 \Rightarrow\ f(x_1) \le f(x_2) ovvero f debolmente crescente.


Supponiamo l_1 < l_2

La funzione assume valori più piccoli di l_1. Perchè? Perchè f(x) è definita in un intorno sinistro di x_0 (esiste l_1) unitamente al fatto che la funzione è debolmente crescente.

In modo analogo la funzione assume valori più grandi di l_2

Quindi se la funzione assume valori più piccoli di l_1 e più grandi di l_2, poichè per ipotesi la sua immagine è un intervallo, allora dovrà assumere tutti i valori in (l_1 - _{qualcosina} , l_2 +  _{qualcosina}) (passatemi l'informalità del qualcosina) e in particolare l'intervallino (l_1, l_2) è contenuto nell'immagine della funzione (anzi azzarderei dicendo che l'intervallo [l_1, l_2] è contenuto nell'immagine della funzione .

In questo intervallino l'unico valore che può essere preso è f(x_0). Pertanto l'intervallo [l_1, l_2] concide con {f(x_0) } e dunque l_1 = l_2, ovvero l'assurdo avendo ipotizzato l_1 < l_2.

Il probelma è che non riesco a formalizzare il fatto che l' intervallino contiene solo il valore di f(x_0).
suggerimenti?
Grazie
EDIT: correzioni codice latex


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