Esercizio funzioni monotone

Calcolo differenziale e studio di funzioni in una variabile
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Noisemaker
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Esercizio funzioni monotone

#1 Messaggioda Noisemaker » sabato 22 settembre 2012, 15:57

\mbox { Sia }\,\,\, f:(-\infty,0)\to\mathb{R}\,\,\,\mbox{una unzione continua ed iniettiva tale che}

\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.

\mbox { Provare che } f \mbox {risulta crescente }

Io ho seguito questo ragionamento qui:

si tratta di provare che, \forall\,\,x_1,x_2 \in (-\infty,0) si ha che x_1<x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f(x_1)<f(x_2)

Allora per ipotesi la funzione è continua ed iniettiva, e ciò significa che è certamente (strettamente) monotona: infatti poichè ogni funzione strettamente monotona è iniettiva, basterebbe fare vedere che f è invertibile (lo è per ipotesi di iniettività) implica f strettamente monotona. Alllra essendo strettamente monotona, dobbiamo dimostrare che essa è monotona crescente; a tale scopo utilizziamo l'ipotesi del limite, cioè:

\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.

questo significa, per definizione, che:

\forall \varepsilon>0,\,\, \exists\delta>0 : \,\,f(x)<-\varepsilon,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0) : x<-\delta

e dunque

x_1<x_2 \,\,\Rightarrow\,\,f(x_1)<f(x_2)<-\varepsilon,\quad \forall x\in (-\infty,0)

e dunque la funzione risulta monotona(strettamente) crescente.

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Re: Esercizio funzioni monotone

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 20:49

:!: :?: :!: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:

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Re: Esercizio funzioni monotone

#3 Messaggioda Noisemaker » domenica 23 settembre 2012, 15:50

Massimo Gobbino ha scritto::!: :?: :!: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:


sono in alto mare vero?

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Re: Esercizio funzioni monotone

#4 Messaggioda Noisemaker » giovedì 27 settembre 2012, 22:14

la funzione non puo decrescere per la regolarità delle funzioni monotone, cioè se f fosse decrescente nell'intervallo (-\infty,0) allora l'estremo superiore sarebbe -\infty

poiche


\displaystyle \sup_{]-\infty ,0[} f=\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty

ma cio è impossibile ...... perchè il \sup f=0


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