Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

Discussione di esercizi di scritti d'esame assegnati ad appelli passati
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Massimo Gobbino
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Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 29 gennaio 2015, 17:55

Ecco il secondo appello, con qualche cenno di soluzione (spero più che sufficiente per chi conosce l'argomento). Valgono le solite raccomandazioni di sempre sulla scarsa utilità delle *mie* soluzioni.
Allegati
AL_15_CS2-Sol.pdf
Scritto 2 -- Cenni di soluzione
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AL_15_CS2.pdf
Testo Scritto 2
(35.51 KiB) Scaricato 111 volte

thegmg
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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#2 Messaggioda thegmg » lunedì 9 febbraio 2015, 12:36

Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?

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GIMUSI
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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#3 Messaggioda GIMUSI » lunedì 9 febbraio 2015, 13:00

thegmg ha scritto:Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?


se non ricordo male...per il teorema spettrale...non solo è diagonalizzabile ma lo è nel modo più bello...ammette cioè una base di autovettori ortogonale :)
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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#4 Messaggioda thegmg » lunedì 9 febbraio 2015, 13:05

GIMUSI ha scritto:
thegmg ha scritto:Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?


se non ricordo male...per il teorema spettrale...non solo è diagonalizzabile ma lo è nel modo più bello...ammette cioè una base di autovettori ortogonale :)

Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!

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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#5 Messaggioda GIMUSI » lunedì 9 febbraio 2015, 13:10

thegmg ha scritto:...Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!


non ho letto il testo...ma direi proprio di sì...una matrice reale simmetrica è bellissimamente diagonalizzabile :)

PS sui complessi mi pare valga lo stesso risultato, ma in quel caso si parla di matrici hermitiane (http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitiana)
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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#6 Messaggioda thegmg » lunedì 9 febbraio 2015, 13:21

GIMUSI ha scritto:
thegmg ha scritto:...Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!


non ho letto il testo...ma direi proprio di sì...una matrice reale simmetrica è bellissimamente diagonalizzabile :)


:D

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Massimo Gobbino
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Re: Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 9 febbraio 2015, 13:36

GIMUSI ha scritto:PS sui complessi mi pare valga lo stesso risultato, ma in quel caso si parla di matrici hermitiane (http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitiana)

Mi ero perso questa discussione. Sui complessi vale molto di più.

Sui reali una matrice A è diagonalizzabile tramite matrice M ortogonale (cioè inversa = trasposta) se e solo se A è simmetrica (teorema spettrale).

Quando si passa sui complessi, la trasposta viene sostituita dalla trasposta coniugata (cioè fare la trasposta e poi coniugare tutti gli elementi). Il teorema spettrale diventa molto più generale: una matrice A a coefficienti complessi è diagonalizzabile mediante una matrice M unitaria (l'equivalente complesso delle ortogonali, cioè inversa = trasposta coniugata) se e solo se A è normale (cioè commuta con la sua trasposta coniugata).

Ovviamente questo vale anche in particolare se A è reale, nel senso che una matrice reale che commuta con la sua trasposta (il coniugato è inutile in questo caso) è diagonalizzabile *sui complessi* mediante una matrice M unitaria (diagonalizzabilità di lusso sui complessi). Esempi di matrici normali reali sono le matrici simmetriche e quelle antisimmetriche, ma non solo.


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