AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

Discussione di esercizi di scritti d'esame assegnati ad appelli passati
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C_Paradise
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AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#1 Messaggioda C_Paradise » lunedì 25 maggio 2015, 21:32

Ciao a tutti!
Mi stavo cimentando con gli scritti d'esame di Analisi 1 - Ghisi/Spagnolo e mi sono trovato in difficoltà con il punto c) dell'esercizio 4 dell'appello del 4 Luglio 2008.
Ho allegato l'immagine dell'esercizio; non riesco a dimostrare che non esistono funzioni con questa proprietà né a trovarne eventualmente una con questa proprietà. Per dimostrare che non ci sono funzioni con la proprietà richiesta avevo pensato di fissare la differenza b-a, e di usare il teorema della media integrale e poi far tendere a a più infinito e trovare un assurdo, ma se la funzione non ha limite questo ragionamento non funziona. Volevo sapere se qualcuno l'aveva risolto o ha idea di come procedere o se esiste un esempio di funzione con la proprietà :?
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Massimo Gobbino
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Re: AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 26 maggio 2015, 18:58

Ma se non ci fosse il vincolo della continuità? Quali esempi producono funzioni integrali 1/2 Holder?

C_Paradise
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Re: AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#3 Messaggioda C_Paradise » giovedì 28 maggio 2015, 18:40

Ma la richiesta dell'esercizio non è più debole rispetto ad essere 1/2-Hölder? Se \omega\left(r\right) è il modulo di continuità della funzione integrale, la richiesta non è equivalente a chiedere che \omega\left(r\right)\le H\sqrt{r} \quad 0\le r\le 1 ? Se non avessi il vincolo della continuità potrebbe andare bene f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{x}} & x > 0 \\ 0 & x=0\end
ma volendola continua?

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Re: AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 29 maggio 2015, 11:11

Beh, volendola continua e non limitata, l'unico modo è fare in modo che l'illimitatezza avvenga per x sempre più grandi (o molto negativi).

Una volta subodorato che il problema sono funzioni del tipo \dfrac{1}{\sqrt{x}} io proverei con un grafico che sia una successione di triangolini con base \dfrac{1}{n^2} e altezza n posti ben distanti l'uno dall'altro in modo da non interferire. Già questo dovrebbe bastare, perché la primitiva sale dell'area (cioè di roba del tipo \dfrac{1}{n}) in uno spazio proporzionale alla base (cioè di roba del tipo \dfrac{1}{n^2}).

La condizione del testo è la locale holderianità, cioè holderianità in ogni intervallo di ampiezza 1.

[Post rieditato, in quanto era pieno da errori di cut&paste]

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Re: AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#5 Messaggioda C_Paradise » venerdì 29 maggio 2015, 12:07

Non so se ho capito, si potrebbero prendere dei triangolini con base \frac{1}{n^2} e altezza n e ponendo a_n=2n dove a_n è la successione dei punti che rappresentano il primo estremo delle basi dei triangolini si avrebbe che comunque preso un intervallo di ampiezza minore o uguale a 1 ci cadrebbe dentro al più un triangolino con area proporzionale a \frac{1}{n} quindi proporzionale alla \sqrt{lunghezza\ base}? Altrimenti non mi è chiaro il ragionamento

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Re: AM1 - Funzione con certe proprietà. Appello 4/7/08

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 29 maggio 2015, 15:54

L'idea è proprio quella ... ho editato il mio post iniziale perché i parametri erano invertiti.

Ovviamente ora si tratta di verificare esplicitamente che ci sia l'holderianità richiesta, facendo stime opportune, che però dovrebbero ridursi a quella brutale (area vs base) a cui ho accennato.


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