Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

Discussione di esercizi di scritti d'esame assegnati ad appelli passati
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Massimo Gobbino
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Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 6 giugno 2015, 12:40

Ecco il testo del primo scritto. Prima o poi potrei arrivare a postare le mie soluzioni, ma sarebbe molto più utile che qualcuno postasse le sue, in modo da poterle discutere e commentare.
Allegati
AM1_15_CS1.pdf
Testo scritto 1
(37.69 KiB) Scaricato 609 volte

Ghedda
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Re: Analisi Matematica 1 2015 - Primo scritto

#2 Messaggioda Ghedda » martedì 9 giugno 2015, 0:09

Provo a rispondere (brevemente) ad alcuni quesiti dell'esercizio 3.
Dalla disuguaglianza \displaystyle\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x valida per x>-1 e dal teorema dei due carabinieri si deduce che la funzione dell'esercizio tende a \ln2 quando x tende a 0^{+}.
Allora nell'intervallo [0,2\pi] la funzione risulta continua e per il teorema di Weiestrass ammette massimo e minimo assoluti (il massimo nell'intervallo [0,\pi) dove la funzione risulta positiva).
Per 0 < x < \pi utilizzando il teorema della media integrale si ha che
(1) \displaystyle\int_x^{x+\sin(x)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_x)} con c_x \in [x,x+\sin(x)];
(2) \displaystyle\int_{x+2n\pi}^{x+2n\pi+\sin(x+2n\pi)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_y)} con c_y \in [x+2n\pi,x+2n\pi+\sin(x)].
Essendo c_x<c_y si deduce immediadamente che f(x)>f(x+2n\pi) e che quindi il massimo assoluto trovato nell'intervallo [0,2\pi] lo è anche nell'intervallo [0, +\infty).
Analogamente si ragiona per il minimo.

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Secondo e terzo scritto

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 25 luglio 2015, 12:02

Ecco i testi del secondo e terzo scritto, per chi vuole provare a farli condividendo le sue soluzioni.
Allegati
AM1_15_CS3.pdf
Scritto 3
(38.49 KiB) Scaricato 232 volte
AM1_15_CS2.pdf
Scritto 2
(40.31 KiB) Scaricato 218 volte

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Re: Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 3 settembre 2015, 14:56

Per gli amanti del genere, ecco il quarto scritto.
Allegati
AM1_15_CS4.pdf
Scritto 4
(39.37 KiB) Scaricato 214 volte

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Re: Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 13 gennaio 2016, 11:17

Quinto scritto.
Allegati
AM1_15_CS5.pdf
Scritto 5
(32.12 KiB) Scaricato 181 volte


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