Problema con Es. n°2 esame 9/07/2011 AnMat2

Discussione di esercizi di scritti d'esame assegnati ad appelli passati
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Scorpion
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Problema con Es. n°2 esame 9/07/2011 AnMat2

#1 Messaggioda Scorpion » martedì 14 luglio 2015, 19:53

Sia V_{\alpha } il solido ottenuto da una rotazione di un angolo \alpha intorno all'asse delle z del triangolo T di vertici \left ( 1,0 \right ), \left (1,1 \right ), \left (0,2 \right ).
(a) Determinare il volume e le coordinate del baricentro di V_{\alpha } nel caso in cui \alpha = 2\pi (rotazione completa).
(b) Fare lo stesso nel caso in cui \alpha \leq \pi.


Per il primo punto tutto ok, è il classico Guldino per solidi di rotazione da applicare. Anche per le coordinate del baricentro tutto ok.
Il secondo punto, invece, mi crea un po' di problemi. Per calcolare il volume basta mettere \alpha al posto di 2\pi perché la rotazione non è completa, ma solo di \alpha. Per quanto riguarda le coordinate del baricentro di questo nuovo solido, non capisco proprio come impostare l'integrale. Tra gli "aiutini" (sì prof, li ho consultati solo dopo averci riflettuto parecchio su, lo giuro), c'è scritto di usare le coordinate cilindriche, cioè (essendo T nel piano yz): x= \rho sin\theta , y= \rho cos\theta , z= u con \theta \in \left [ 0, 2\pi \right ] in modo che \left ( \rho , u \right ) \in T. Non capisco come impostare l'integrale.
Ad esempio, per la coordinata x_{G}:
x_{G}= \frac{1}{Vol(V_{\alpha })} \int \int \int_{V_{\alpha }} x dxdydz= \int_{0}^{1} \rho ^{2}d\rho \int_{0}^{\alpha } sin\theta d\theta \int_{?}^{?} dz

P.S. Che utilità ha cambiare variabile da z a u?
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ghisi
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Re: Problema con Es. n°2 esame 9/07/2011 AnMat2

#2 Messaggioda ghisi » venerdì 17 luglio 2015, 14:57

Innanzi tutto se la rotazione non è completa è importante il "verso" di rotazione per poter impostare le coordinate cilindriche (nel tuo caso era in senso orario) e si traduce nel modo in cui scegli come mettere \sin \theta, \cos \theta e di conseguenza dove varia \theta.

Per quanto riguarda il fatto di cambiare nome a z: è solo una questione formale (è brutto scrivere z = z, ma se lo fai non succede nulla), quindi \rho e u (o z ) variano esattamente dove variavano y e z quando hai calcolato il volume cioè 0\leq \rho\leq 1 e 2-\rho \leq u\leq 2-2\rho.

Scorpion
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Re: Problema con Es. n°2 esame 9/07/2011 AnMat2

#3 Messaggioda Scorpion » venerdì 17 luglio 2015, 15:59

Grazie mille prof! Ho capito dove sbagliavo!


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