Inf di una funzione su R^2 (es. 3 prova d'esame 5/07/05)

Discussione di esercizi di scritti d'esame assegnati ad appelli passati
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Mondo
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Inf di una funzione su R^2 (es. 3 prova d'esame 5/07/05)

#1 Messaggioda Mondo » lunedì 7 gennaio 2008, 13:30

Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto R^2 è anche minimo?
(il minimo poi lo calcolo facilmente annullando il gradiente e risulta -1/8)
Sono arrivato a questa conclusione dopo aver osservato che anche con il metodo del completamento dei quadrati non si arriva a nulla, o meglio non si riesce a far andare f(x,y) sotto -1/8...

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Massimo Gobbino
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Re: Inf di una funzione su R^2 (es. 3 prova d'esame 5/07/05)

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 7 gennaio 2008, 18:30

Mondo ha scritto:Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto R^2 è anche minimo?

Bisogna far vedere che f(x,y) è positiva quando il punto (x,y) sta al di fuori di un cerchio di raggio sufficientemente grande.

A quel punto la "battaglia per l'inf" si gioca all'interno del cerchio, e lì vale Weiestrass.


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