Dimostrazione della formula di taylor con resto di lagrange,

[francicko]

Riporto qui una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange,con il solo uso del teorwema di Rolle, tratta da un libro di analisi 1;
Sia una funzione definita e continua, in un intervallo ; Supponiamo che esista la derivata di ordine di in tutti i punti di tale intervallo, poniamo .........,
allora esiste almeno un punto interno a tale intervallo, tale che , .
Posto , e vado a considerare la funzione ausiliaria ........, essendo che si annulla agli estremi del''intervallo , si può applicare il teorema di Rolle, pertanto esisterà un punto interno a tale intervallo tale che , proseguendo si arriva ad ottenere che può essere sritto nella forma ; per si ha semplicemente il teorema di Lagrange in cui ci si riduce alla ben nota forma . In effetti, non ho fatto altro che generalizzare la del teorema di lagrange sostituendo nel punto il polinomio di taylor in tale punto, mi sbaglio?
Quindi è possibile dimostrare la formula di taylor con resto di Lagrange, ricorrendo al solo uso del teorema di Rolle, bypassando così l'uso derl teorema di Cauchy e di Hopital, mi sbaglio?
Resto in attesa di una risposta!
Saluti!