Dimostrazione della formula di taylor con resto di lagrange,

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francicko
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Dimostrazione della formula di taylor con resto di lagrange,

#1 Messaggioda francicko » mercoledì 9 luglio 2014, 14:47

Riporto qui una dimostrazione della formula di Taylor con resto di Lagrange,con il solo uso del teorwema di Rolle, tratta da un libro di analisi 1;
Sia f(x) una funzione definita e continua, in un intervallo (a,b); Supponiamo che esista la derivata di ordine n+1 di f(x)in tutti i punti di tale intervallo, poniamo R=f(b)-{f(a)+(b-a)f^1(a)+((b-a)^2/2)f^2(a)+ .........((b-a)^n/n!)f^n(a)},
allora esiste almeno un punto c interno a tale intervallo, tale che , R=((b-a)^{n+1}/(n+1)!)f^{n+1}(c).
Posto q=R/(b-a)^{n+1}, e vado a considerare la funzione ausiliaria g(x)= f(b)-f(x)-(b-x)f^1(x)-(b-x)^2/2f^2(x)........-((b-x)^n/n!)f^n(x)-((b-x)^{n+1}/(n+1)!)q, essendo che si annulla agli estremi del''intervallo (a,b), si può applicare il teorema di Rolle, pertanto esisterà un punto c interno a tale intervallo tale che g^1(x)=0, proseguendo si arriva ad ottenere che R può essere sritto nella forma R=((b-x)^{n+1}/(n+1)!)f^{n+1}(c); per n=0 si ha semplicemente il teorema di Lagrange in cui ci si riduce alla ben nota forma g(x)=f(b)-f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))(b-x). In effetti, non ho fatto altro che generalizzare la g(x) del teorema di lagrange sostituendo nel punto a il polinomio di taylor in tale punto, mi sbaglio?
Quindi è possibile dimostrare la formula di taylor con resto di Lagrange, ricorrendo al solo uso del teorema di Rolle, bypassando così l'uso derl teorema di Cauchy e di Hopital, mi sbaglio?
Resto in attesa di una risposta!
Saluti!

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