Una curiosita' su Ramanujan.

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
Messaggio
Autore
MrCristoff
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 6
Iscritto il: lunedì 6 ottobre 2014, 17:03

Una curiosita' su Ramanujan.

#1 Messaggioda MrCristoff » lunedì 3 novembre 2014, 17:22

http://www.matematicamente.it/storia/Ra ... matico.pdf

Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato! :lol:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1102
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Una curiosita' su Ramanujan.

#2 Messaggioda GIMUSI » domenica 9 novembre 2014, 11:37

MrCristoff ha scritto:http://www.matematicamente.it/storia/Ramanujan-genio-matematico.pdf

Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato! :lol:


che personaggio incredibile...un vero mistero :roll:
GIMUSI

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1970
Età: 50
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Una curiosita' su Ramanujan.

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 29 dicembre 2014, 20:31

MrCristoff ha scritto:Alla ricerca di qualche spiegazione su questo strano risultato! :lol:


In un momento di tranquillità, provo a dire qualcosa su questo risultato. Per ulteriori informazioni, basta cercare "zeta di Riemann" e farsi una cultura sull'argomento.

Volendo essere terra-terra, tutto parte dalla serie armonica generalizzata:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}

Volendo questa formula, pensata come funzione di \alpha, definisce una funzione f(\alpha), o volendo anche \zeta(s), se si indica il parametro con la lettera s, come si fa di solito, e la funzione con la lettera \zeta, da cui appunto il nome di "funzione zeta". Tuttavia, per restare terra-terra, continueremo a chiamarla f(\alpha).

Per quali valori di \alpha è definita questa funzione? Beh, per uno che sta facendo analisi 1 la risposta è immediata: per \alpha>1. Sapendo oltre ad analisi 1 un minimo sui numeri complessi, non è difficile vedere che la cosa si estende bene anche se \alpha è un numero complesso con parte reale maggiore di 1. Tuttavia, volendo il discorso si può fare anche ignorando i numeri complessi.

Chi sa bene analisi 1, al punto da saper confrontare le serie con gli integrali, saprà che f(\alpha)\to+\infty per \alpha\to 1^+ e con un minimo sforzo arriverà pure a dimostrare che lo fa come \dfrac{1}{\alpha-1} (e qui ogni riferimento alla primitiva di x^{-\alpha} è puramente casuale).

Tutti questi discorsi fanno venire voglia di porre

f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha-1}+g(\alpha)

e chiedersi come si comporta la funzione g(\alpha). E qui c'è la sorpresona (teoremone): g(\alpha) è una funzione che ha una bella serie di Taylor

\displaystyle g(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(1-\alpha)^n

la quale, udite udite, converge per ogni \alpha reale (e pure complesso). Detto altrimenti, f(\alpha) è somma di potenze di 1-\alpha a partire dall'esponente -1, e proprio il termine con esponente -1 è la causa dei problemi della funzione in 1. Fuori da 1, però, problemi non ce ne sono, quindi ha senso considerare il valore di f(\alpha) per ogni \alpha (reale o complesso) diverso da 1. Per gli \alpha maggiori di 1 continua ad essere la somma della serie armonica generalizzata, per i restanti valori sarà qualcos'altro, legato in maniera misteriosa alla serie (che per gli altri valori del parametro diverge).

Ora si può dimostrare che f(\alpha), estesa come abbiamo detto, vale -1/12 in -1, che è il risultato da cui siamo partiti. Ovviamente, come appena detto, questo non vuol dire che la serie converge a -1/12 quando metto il parametro uguale a -1, ma solo che un qualche fantasma della serie sopravvive e vorrebbe fare -1/12, se potesse :D.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1102
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Una curiosita' su Ramanujan.

#4 Messaggioda GIMUSI » domenica 5 aprile 2015, 12:34

segnalo questa playlist che approfondisce un po' il tema della funzione zeta di riemann...mi sembra interessante e ben fatto

https://www.youtube.com/playlist?list=P ... DD4DA932C9
GIMUSI


Torna a “Serie”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite