Altra serie convergente

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
Messaggio
Autore
Avatar utente
Valerio
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 89
Iscritto il: venerdì 3 aprile 2015, 1:20

Altra serie convergente

#1 Messaggioda Valerio » giovedì 21 aprile 2016, 16:58

La seguente serie

[math]

dovrebbe convergere. Ho provato a togliere ed aggiungere alla frazione la quantità suggerita dal "brutal mode" (chiamiamola bn =[1/n^1/2]). Una volta fatto ottengo una somma di 2 serie dove una (quella col solo bn) converge per Leibnitz mentre sull'altra non riesco a trovare la maniera per verificarne la convergenza. Potreste gentilmente aiutarmi?

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho sistemato la formula

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1057
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Altra serie convergente

#2 Messaggioda GIMUSI » venerdì 22 aprile 2016, 12:48

non sono sicuro che ci sia assolutamente bisogno di aggiungere e sottrarre termini in questo caso

sei certo che non si riesca con un "semplice" Leibnitz? il termine della serie mi pare decrescente, forse è un po' ostico farlo vedere

io lo farei ad esempio considerando la funzione f(x) che si ottiene mettendo x=n e poi prendendo g(y) con x=e^(2y)...ma non è detto che sia il modo migliore eh :roll:

se fai qualche tentativo poi fammi sapere :wink:
GIMUSI

Avatar utente
Valerio
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 89
Iscritto il: venerdì 3 aprile 2015, 1:20

Re: Altra serie convergente

#3 Messaggioda Valerio » martedì 26 aprile 2016, 21:52

GIMUSI ha scritto:non sono sicuro che ci sia assolutamente bisogno di aggiungere e sottrarre termini in questo caso

sei certo che non si riesca con un "semplice" Leibnitz? il termine della serie mi pare decrescente, forse è un po' ostico farlo vedere

io lo farei ad esempio considerando la funzione f(x) che si ottiene mettendo x=n e poi prendendo g(y) con x=e^(2y)...ma non è detto che sia il modo migliore eh :roll:

se fai qualche tentativo poi fammi sapere :wink:

Quindi la via per dimostrare la debole decrescenza è proprio attraverso uno studio di funzione? Ho provato sia con l'induzione che con lo studio di funzione a dimostrarla ma in entrambi i casi i calcoli da fare diventano articolati. In particolare per lo studio di funzione la difficoltà sta nello studiare il segno della derivata per stabilirne la monotonia. Anche sostituendo f(x) a g(y) come suggerito mi sembra, almeno in apparenza, che la situazione sia complicata lo stesso. Difatti facendo la derivata di g(y) per studiarne il segno viene fuori una frazione [g(y)]'=(e^y - 2ye^y +2)/( e^y+1)^2.

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1782
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Altra serie convergente

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 27 aprile 2016, 8:30

Beh, ma in Leibnitz la monotonia basta "definitivamente", ed è evidente che il numeratore di quella frazione è negativo quando y è grande. La stessa cosa si vedeva anche direttamente con la funzione f(x), e forse anche impostando direttamente la monotonia sulla successione.

Avatar utente
Valerio
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 89
Iscritto il: venerdì 3 aprile 2015, 1:20

Re: Altra serie convergente

#5 Messaggioda Valerio » mercoledì 27 aprile 2016, 17:43

Massimo Gobbino ha scritto:Beh, ma in Leibnitz la monotonia basta "definitivamente", ed è evidente che il numeratore di quella frazione è negativo quando y è grande. La stessa cosa si vedeva anche direttamente con la funzione f(x), e forse anche impostando direttamente la monotonia sulla successione.

Giusto, basta osservare che il numeratore è negativo per y grandi ed è fatta senza scomodare uno studio di funzione globale rigoroso ( in questo caso non banalissimo). Adesso la dimostrazione della debole decrescenza attraverso la derivata di g(y) mi è chiara. Tuttavia mi rimane ancora un' ultima domanda- curiosità in merito. Impostare direttamente la monotonia sulla successione vorrebbe dire scrivere la disequazione [math], ho provato a risolverla tramite induzione ma ho l'impressione che i calcoli si complichino eccessivamente. Attraverso quali accorgimenti, strategie si potrebbe completare l'induzione e quali altri metodi permettono di lavorare direttamente sulla successione anziché sulla funzione ad essa associata f(x)?

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1782
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Altra serie convergente

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 29 aprile 2016, 11:33

L'induzione di solito è una scelta perdente. Molto meglio provare a dimostrare direttamente che la disuguaglianza vale definitivamente, riducendosi dopo un po' di passaggi algebrici al confronto di espressioni con ordine di infinito diverso. Un esempio in tal senso lo puoi trovare all'inizio della lezione 37 di analisi 1 per matematica.

Si tratta di un metodo ragionevole nei casi polinomiali; funziona anche nel caso in questione, ma ci vuole un minimo di esperienza per tenere duro e portarlo al termine.

Avatar utente
Valerio
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 89
Iscritto il: venerdì 3 aprile 2015, 1:20

Re: Altra serie convergente

#7 Messaggioda Valerio » venerdì 29 aprile 2016, 12:10

Ho capito, grazie mille per la pazienza, la disponibilità e la chiarezza. Mi siete stati di grandissimo aiuto!


Torna a “Serie”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite