Estensione del teorema di Abel

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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C_Paradise
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Estensione del teorema di Abel

#1 Messaggioda C_Paradise » sabato 9 luglio 2016, 15:18

Ciao a tutti! Stavo provando a risolvere il seguente esercizio. Sia [math] una successione di numeri reali tale che

[math] e che [math]

Dimostrare che

[math]

Purtroppo non riesco a risolverlo, ho cercato di usare il lemma di sommazione di Abel, ma non sono arrivato da nessuna parte, se qualcuno l'ha fatto o ha qualche idea da scambiare è il benvenuto :D

C_Paradise
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Re: Estensione del teorema di Abel

#2 Messaggioda C_Paradise » sabato 9 luglio 2016, 16:02

Sono arrivato alla disuguaglianza [math] valida [math] dipendente da [math] e dove si è posto [math]. Controllando la differenza tra [math] e passando al [math] forse si riesce a fare..

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Massimo Gobbino
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Re: Estensione del teorema di Abel

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 10 luglio 2016, 2:43

La stima che hai scritto non mi torna molto, dovresti esplicitare maggiormente i dettagli.

Mi pare comunque che basti ragionare come nel passo 3 della dimostrazione di Abel classico (vedi lezione 95). Si tratta sostanzialmente di fissare un M arbitrario (grande a piacere) e scrivere l'uguaglianza per la differenza delle somme parziali con indice m variabile e indice n uguale ad un indice [math] fisso dopo il quale tutti gli [math] valgono più di M.

A quel punto con gli stessi passaggi fatti a lezione si ottiene la stima (ho sacrificato il termine positivo [math] e stimato gli [math] nella sommatoria finale con M)

[math]

Ora basta, nell'ordine,
  • calcolare la sommatoria,
  • mandare m all'infinito,
  • fare il liminf per [math],
  • esplicitare [math],
  • ricordare l'arbitrarietà di M.
:D

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Re: Estensione del teorema di Abel

#4 Messaggioda C_Paradise » domenica 10 luglio 2016, 15:49

Grazie mille per la rapida risposta :D Il mio conto è sostanzialmente quello che ha fatto lei, ho regalato il termine [math] e ho scritto
[math] da cui [math]
e mandando [math] ottengo [math] ma [math] da cui [math] e come ha detto lei si chiude per l'arbitrarietà di [math] :mrgreen:


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