Serie parametriche 3

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
Messaggio
Autore
Avatar utente
Giorgio
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 4
Iscritto il: lunedì 9 novembre 2009, 19:18

Serie parametriche 3

#1 Messaggioda Giorgio » domenica 15 novembre 2009, 22:43

mi servirebbe un aiuto per una delle serie parametriche 3...
il testo dell'esercizio è questo

(1/sqrt(n))-arctan(1/(n^alfa))

:? non capisco quando posso considerarla una serie a termini positivi e quando no. Qualcuno di voi si è posto il mio problema?

Avatar utente
g.masullo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 67
Iscritto il: domenica 27 settembre 2009, 8:55
Località: Pisa
Contatta:

#2 Messaggioda g.masullo » lunedì 16 novembre 2009, 8:45

Ciao.. Allora provo a darti una risposta sperando di non dire cavolate.

Bisogna vedere ovviamente quando l'arctg > 1/sqrt(n)

Quindi arctg(1/n^a)>1/sqrt(n)
-> arctg(1/n^a)-1/sqrt(n)>0

Ora. 1/sqrt(n) è sempre > 0 per n>0

L'arctg è positiva quando?
da 0 a pi/2

quindi 1/sqrt(n) deve essere massimo pi/2
e
0<=arctg(1/n^a)<=pi/2

Ecco.. Ora che ho scritto le prime cose che mi sono venute in mente spero che qualcuno mi corregga in quanto penso che non siano "molto" corrette

Avatar utente
Giorgio
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 4
Iscritto il: lunedì 9 novembre 2009, 19:18

#3 Messaggioda Giorgio » lunedì 16 novembre 2009, 11:15

Ehi ciao... grazie della risposta :-)
Secondo me il ragionamento che hai fatto è giusto, ma solo nel caso degli alfa negativi. Infatti in quel caso (1/sqrt(n)) tende a 0 e l'arcotangente tende a (pi/2)... quindi definitivamente

arcotangente-(1/sqrt(n))<0

... quindi nel complesso la serie non è a termini positivi ma basta che metto un meno in evidenza e la faccio diventare io.

Nel caso degli alfa positivi mi è venuta una idea stamattina a mente più fresca e riposata :-)

usando Taylor ho che l'argomento della serie è circa (1/sqrt(n))-(1/(n^alfa))
quindi a questo punto è chiaro che la serie è definitivamente a termini positivi per alfa>1/2 e viceversa a termini negativi per 0<alfa<1/2

spero che il ragionamento sia giusto... a domani ;-)

Avatar utente
g.masullo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 67
Iscritto il: domenica 27 settembre 2009, 8:55
Località: Pisa
Contatta:

#4 Messaggioda g.masullo » lunedì 16 novembre 2009, 11:45

Uhm Penso proprio che il ragionamento sia questo :)

A domani ! (Sei il giorgio che conosco io? O.o)

Avatar utente
Giorgio
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 4
Iscritto il: lunedì 9 novembre 2009, 19:18

#5 Messaggioda Giorgio » lunedì 16 novembre 2009, 13:25

eh si, credo proprio di sì... ;-)
comunque la serie mi è riuscita
per gli alfa negativi non c'era nemmeno bisogno di sapere se i termini della serie erano positivi o no tanto non c'era la condizione necessaria

PS: domani mensa?

Avatar utente
g.masullo
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 67
Iscritto il: domenica 27 settembre 2009, 8:55
Località: Pisa
Contatta:

#6 Messaggioda g.masullo » lunedì 16 novembre 2009, 14:03

giusto!!

Comunque.. PS: Domani ci sta prima informatica.. si va dal Lami e poi credo mensa..

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2161
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 16 novembre 2009, 17:50

@Giorgio: sostanzialmente corretto. Talvolta è proprio Taylor che dice se una certa cosa è positiva o negativa per n grandi. Ovviamente la cosa andrebbe giustificata rigorosamente, ma brutalmente si procede proprio in quel modo.

Avatar utente
catarsiaffa
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 33
Iscritto il: giovedì 12 gennaio 2012, 18:42
Località: Livorno
Contatta:

Re: Serie parametriche 3

#8 Messaggioda catarsiaffa » venerdì 13 luglio 2012, 22:46

Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?
"Carpe diem, quam minimum credula postero."

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2161
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Serie parametriche 3

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 14 luglio 2012, 4:37

catarsiaffa ha scritto:Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?


Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni \alpha>0. Perché?

Quale dei due termini comanda per \alpha>1/2 ? E per \alpha<1/2 ?

Cosa succede per \alpha=1/2 ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.

Avatar utente
catarsiaffa
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 33
Iscritto il: giovedì 12 gennaio 2012, 18:42
Località: Livorno
Contatta:

Re: Serie parametriche 3

#10 Messaggioda catarsiaffa » sabato 14 luglio 2012, 9:30

Massimo Gobbino ha scritto:Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni \alpha>0. Perché?


Ho scritto un orrore matematico, logicamente 1/sqrt(n) ->0 e arctan (1/n^a)-> se 1/n^a ->0, quindi è sufficiente che \alpha>0. :oops:



Massimo Gobbino ha scritto: Quale dei due termini comanda per \alpha>1/2 ? E per \alpha<1/2 ?

Per \alpha>1/2: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/sqrt(n) vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende ad 1. Quindi la mia serie si comporta come 1/sqrt(n) e, dato che (1/2)<1, diverge.

Per \alpha>1/2: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/n^a vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende a -1. Quindi la mia serie si comporta come 1/n^a e, dato che a<1, diverge.

Massimo Gobbino ha scritto:Cosa succede per \alpha=1/2 ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.


Per \alpha=1/2 utilizzo lo sviluppo di Taylor di ordine 3: 1/sqrt(n) - (1/sqrt(n) - 1/3*(sqrt (n))^3 ), da cui :

1/3*(sqrt (n))^3 si comporta come 1/(sqrt (n))^3 , e dato che 3/2 >1, la serie converge.

La ringrazio, è stato provvidenziale!
"Carpe diem, quam minimum credula postero."


Torna a “Serie”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti