Serie 3: esercizio 6 colonna 2

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#1 Messaggioda utente91 » mercoledì 28 dicembre 2011, 19:20

Serie che va da 1 a +00:

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH
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Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#2 Messaggioda Jonathanpizzicoli » lunedì 30 gennaio 2012, 20:59

Io ho considerato che raccogliendo al numeratore ed al denominatore dell'esponente n^2 si vede che la successione assomiglia a n^-2 = 1/ n^2, quindi converge in quanto armonica con a=2..però non sono sicuro che i passaggi abbiano senso logico :lol:

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Re: Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#3 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 12 settembre 2012, 9:56

utente91 ha scritto:Serie che va da 1 a +00:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH


la serie è anzitutto a termini positivi; considerando il termine genearale si ha:


\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= n^{\frac{1 }{n^2+3}-\frac{ 2n^2}{n^2+3}}=\frac{ n^{\frac{1 }{n^2+3}}}{n^{\frac{ 2n^2}{n^2+3}}}\sim\frac{ n^{\frac{1 }{n^2}}}{n^{2}}=n^{\frac{1 }{n^2}-2}\sim n^{ -2}=\frac{1}{n^2} \to \mbox{ converge}

la serie di partenza allora converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 2

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Re: Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 17:04

Brutale per brutale, tanto valeva dire da subito che l'esponente tende a -2, quindi si comporta come la serie di \dfrac{1}{n^2}.

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Re: Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#5 Messaggioda Noisemaker » domenica 23 settembre 2012, 15:43

Noisemaker ha scritto:
utente91 ha scritto:Serie che va da 1 a +00:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}  n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}

n^((1-2n^2)/n^2+3)

Faccendo E-ALLA mi viene -00 e il limite iniziale mi torna 0, mi fermo qua??? Oppure dico che converge perché è verificata la condizione necessaria, anche se come soluzione mi sembra strana - BOH


la serie è anzitutto a termini positivi; considerando il termine genearale si ha:


\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= n^{\frac{1 }{n^2+3}-\frac{ 2n^2}{n^2+3}}=\frac{ n^{\frac{1 }{n^2+3}}}{n^{\frac{ 2n^2}{n^2+3}}}\sim\frac{ n^{\frac{1 }{n^2}}}{n^{2}}=n^{\frac{1 }{n^2}-2}\sim n^{ -2}=\frac{1}{n^2} \to \mbox{ converge}

la serie di partenza allora converge per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente 2


\displaystyle n^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}}= e^{\frac{1-2n^2}{n^2+3}\ln n}  \sim e^{-2\ln n}=\left(\frac{1}{e^{\ln n}}\right)^2=\frac{1}{n^2} \to \mbox{ converge}

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Re: Serie 3: esercizio 6 colonna 2

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 17 ottobre 2012, 15:07

Brutalmente siamo d'accordo. Per concludere rigorosamente, bisogna fare il confronto asintotico con \dfrac{1}{n^2}, il che conduce ad un facile limite.


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