Serie 3; esercizio 8, colonna 1

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Serie 3; esercizio 8, colonna 1

#1 Messaggioda utente91 » mercoledì 28 dicembre 2011, 19:24

E questa serie sembra una presa in giro:

Serie da 0 a +00: pigreca/2- arctgn

Non può essere che bisogna fare la sottrazione che mi dà zero e basta!
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Re: Serie 3; esercizio 8, colonna 1

#2 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 8 agosto 2012, 17:12

ciao!

la serie

\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left(  \frac{\pi}{2} -\arctan x\right)

è equivalente alla serie

\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \arctan \frac{1}{n} , essendo nota l'identità trigonomentrica

\displaystyle\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\arctan x;

allora la serie risulta divergente per confronto in quanto:

\displaystyle\arctan \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}\to \text{diverge}

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Massimo Gobbino
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Re: Serie 3; esercizio 8, colonna 1

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 9 agosto 2012, 9:22

Ottimo!

In alternativa, si poteva fare il confronto asintotico con \displaystyle\frac{1}{n}, ricorrendo a De l'Hopital (dopo aver cambiato il limite in n con il limite per x che tende a + infinito) per fare il limite che vien fuori.

@utente91: quella che fai tu è solo la verifica della condizione necessaria, che dice semplicemente che la serie può convergere, senza sbilanciarsi sul sì o sul no!


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