Serie che si trovano nei test

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Serie che si trovano nei test

#1 Messaggioda utente91 » lunedì 30 gennaio 2012, 22:51

Per favore suggeritimi quale ragionamento usare in queste domande per arrivare alla riposta giusta:
{sqrt(n)an}->+00 allora Serie di an converge;
{2^(n)an}->3 allora Serie di an converge;

Dalla teoria so che La Serie an converge quando la successione(an) tende a zero, in questo caso però alla successione viene aggiunta un'altra variabile che penso cambi il comportamento della serie, ma non so che calcoli devo fare per determinare il comportamento. Aiutoooooooooooo
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Re: Serie che si trovano nei test

#2 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 12 settembre 2012, 9:04

Se sono queste le domande,

\displaystyle\sqrt[n]a_n\to+\infty  \Rightarrow \mbox {la serie}  	\sum_{n=1}^{+\infty} a_n  \mbox{ converge}

\displaystyle2^na_n\to3 \Rightarrow \mbox {la serie}  	\sum_{n=1}^{+\infty} a_n  \mbox{ converge}

Per la prima la risposta è no per il criterio della radice: poichè abbbiamo per ipotesi che

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]a_n=+\infty>1 \to\mbox{la serie} 	\sum_{n=1}^{+\infty} a_n  \mbox{ Non converge}

nel secondo caso abbiamo:

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 dunque \displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}

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Re: Serie che si trovano nei test

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 17:02

Noisemaker ha scritto:\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 dunque \displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}


Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra a_n e 2^{-n}.

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Re: Serie che si trovano nei test

#4 Messaggioda Noisemaker » sabato 22 settembre 2012, 19:37

Massimo Gobbino ha scritto:
Noisemaker ha scritto:\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 dunque \displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}


Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra a_n e 2^{-n}.



si ...è vero ...e brutto da vedere tra l'atro anche suscettibile a considerare il limite come un'operazione "ordinaria" ...

piochè

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 \,\,\,\,\mbox{o equivalentemente}\,\,\, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{2^{-n}}= 3

ovvero la successione a_n è un infinito dello stesso ordine di \displaystyle\ 3\cdot 2^{-n}}

\displaystyle a_n\sim \frac{3}{2^{n}}\to\mbox{converge}

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Re: Serie che si trovano nei test

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 20:32

Ora va molto meglio :D . Detto altrimenti: la serie converge per confronto asintotico con la serie di termine generale b_n=\dfrac{1}{2^n}, la quale è una serie geometrica convergente.


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