Serie che si trovano nei test

utente91

Per favore suggeritimi quale ragionamento usare in queste domande per arrivare alla riposta giusta:
{sqrt(n)an}->+00 allora Serie di an converge;
{2^(n)an}->3 allora Serie di an converge;

Dalla teoria so che La Serie an converge quando la successione(an) tende a zero, in questo caso però alla successione viene aggiunta un'altra variabile che penso cambi il comportamento della serie, ma non so che calcoli devo fare per determinare il comportamento. Aiutoooooooooooo

Noisemaker

Se sono queste le domande,

$\displaystyle\sqrt[n]a_n\to+\infty \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}$

$\displaystyle2^na_n\to3 \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}$

Per la prima la risposta è no per il criterio della radice: poichè abbbiamo per ipotesi che

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]a_n=+\infty>1 \to\mbox{la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ Non converge}$

nel secondo caso abbiamo:

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3$ dunque $\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}$

Sito web

Noisemaker ha scritto: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3$ dunque $\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}$

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra a_n

e $2^{-n}$ .

Noisemaker

Massimo Gobbino ha scritto:
Noisemaker ha scritto: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3$ dunque $\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}$

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra e $2^{-n}$ .

si ...è vero ...e brutto da vedere tra l'atro anche suscettibile a considerare il limite come un'operazione "ordinaria" ...

piochè

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 \,\,\,\,\mbox{o equivalentemente}\,\,\, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{2^{-n}}= 3$

ovvero la successione a_n

è un infinito dello stesso ordine di $\displaystyle\ 3\cdot 2^{-n}}$

$\displaystyle a_n\sim \frac{3}{2^{n}}\to\mbox{converge}$

Sito web

Ora va molto meglio

. Detto altrimenti: la serie converge per confronto asintotico con la serie di termine generale $b_n=\dfrac{1}{2^n}$ , la quale è una serie geometrica convergente.

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