Serie Parametrica, help!

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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anotherjoe
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Serie Parametrica, help!

#1 Messaggioda anotherjoe » giovedì 28 giugno 2012, 17:46

Salve a tutti,

devo risolvere questo esercizio:

Determinare per quali x reali converge la serie:

sum(n>=1 , +infinito) ( (1/n) * ( 3x - x^2 )^n )

Ho difficoltà a "vedere" cosa fare per iniziare, cerco anche solo suggermienti.

Molte grazie! :mrgreen:

Noisemaker
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Re: Serie Parametrica, help!

#2 Messaggioda Noisemaker » venerdì 7 settembre 2012, 12:30

anotherjoe ha scritto:Salve a tutti,

devo risolvere questo esercizio:

Determinare per quali x reali converge la serie:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} ( 3x - x^2 )^n, \quad x\in \mathbb{R}

Ho difficoltà a "vedere" cosa fare per iniziare, cerco anche solo suggermienti.

Molte grazie! :mrgreen:


nazitutto poniamo per semplicità 3x - x^2 =\lambda e consideriamo la serie:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} ( \lambda )^n

la serie non è a termini positivi, quindi consideriamo il valore assoluto del termine generale :

\displaystyle \left|\frac{1}{n} ( \lambda )^n\right|=  \frac{1}{n} ( |\lambda |)^n

a questo punto siamo difronte al termine generale di una serie a termini positivi, alla quale possiamo applicare, ad esempio, il criterio della radice, cioè

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n} ( |\lambda |)^n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}} |\lambda |  = |\lambda |=\begin{cases}\mbox{converge se }&  |\lambda|<1  \\ \mbox{diverge se }&  |\lambda|>1 \\ \mbox{criterio ineff.}&  |\lambda|=1 
\end{cases}

allora avremo che la serie converge se

\displaystyle|3x - x^2 |<1,\quad \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{5}}{2} \cup \displaystyle\frac{ 3+\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{13}}{2}

dobbiamo considerare ora i casi in cui il criterio della radice fallisce, cioè i casi in cui |\lambda|=1, ovvero i casi in cui

x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2},\quad x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{ 3+\sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}

\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2},\quad \mbox{la serie  diventa:}

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\right)^n

in questo caso la serie non è a termini positivi, in quanto x=\frac{ 3-\sqrt{13}}{2}<0, considerando il valore assoluto abbiamo a cui possimo applicare il criterio del rapporto:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left| \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\right|^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left|C\right|^n \stackrel{(Ratio)}{\Rightarrow} \lim_{n \to +\infty}\frac{\left|C\right|^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{\left|C\right|^n}=\left|C\right| <l<1\to \mbox{converge}

\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3-\sqrt{5}}{2},\quad \mbox{la serie  diventa:}

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{5}}{2}\right)^n

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto 0<\frac{ 3-\sqrt{5}}{2}<1, : applicando il criterio del rapporto:

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3-\sqrt{5}}{2}\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{ C ^n }{n} \stackrel{(Ratio)}{\Rightarrow} \lim_{n \to +\infty}\frac{ C ^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{ C ^n}= C <l<1\to \mbox{converge}

\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3+\sqrt{5}}{2},\quad \mbox{la serie  diventa:}

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{5}}{2}\right)^n

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto \frac{ 3-\sqrt{5}}{2}>1, : tuttavia in questo caso la serie non converge, in quanto il termine generale non è infinitesimo, infatti:

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{5}}{2}\right)^n=+\infty

\mbox{se }\quad \displaystyle x=\frac{ 3+\sqrt{13}}{2},\quad \mbox{la serie  diventa:}

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{13}}{2}\right)^n

in questo caso la serie è a termini positivi, in quanto \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}>1, : tuttavia in questo caso la serie non converge, in quanto il termine generale non è infinitesimo, infatti:

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \left( \frac{ 3+\sqrt{13}}{2}\right)^n=+\infty

Allora concludendo, la serie converge per \displaystyle  \frac{ 3-\sqrt{13}}{2}\le x\le\frac{3-\sqrt{5}}{2} \cup \displaystyle\frac{ 3+\sqrt{5}}{2}<x<\frac{3-\sqrt{13}}{2}


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