Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

#1 Messaggioda catarsiaffa » venerdì 13 luglio 2012, 22:59

Buonasera a tutti, ho problemi a risolvere queste due serie parametriche, qualcuno può gentilmente aiutarmi?

sommatoria per n che va da 1 a oo di: (arctan(a^n)) /n (a=alpha)

sommatoria per n che va da 1 a oo di: 1/( |a|^logn )

Devo stabilire per quali valori del parametro alpha le serie convergono...Non so come impostare il ragionamento in questi due casi,
grazie in anticipo!:)
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Re: Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

#2 Messaggioda CoTareg » sabato 14 luglio 2012, 19:30

Beh, partiamo dalla prima.

Se alpha > 1, l'argomento dell'arcotangente tende all'infinito, quindi la successione diventa (pi/2)*(1/n), e la sua serie diverge.
Se |alpha| < 1, l'argomento dell'arctan tende a zero, quindi puoi usare Taylor. |alpha|^n converge già solo se |alpha| < 1, questa volta c'è anche 1/n che aiuta a convergere. Vediamo cosa succede "al bordo": se alpha = 1, la successione diventa pi/4 * 1/n e diverge. Se alpha = -1, la successione diventa ((-1)^n) * pi/4 * 1/n, e questa converge per Leibniz.
Se alpha < -1, la serie tende ad essere ((-1)^n) * pi/2 * 1/n, e anche questa converge per Leibniz.

In definitiva, la serie converge per alpha < 1.

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Re: Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

#3 Messaggioda catarsiaffa » domenica 15 luglio 2012, 9:39

Grazie mille!:)
(Le difficoltà più grandi però le ho nelle successioni per ricorrenza...:( )
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Re: Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

#4 Messaggioda CoTareg » domenica 15 luglio 2012, 17:55

Andiamo alla seconda. Base ed esponente strani --> E-alla.
La successione diventa e^(-log(n)*log(|a|)) = 1/(n^(log(|a|)). :)
A questo punto, è un'armonica... :D

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Re: Serie Parametriche 3, 2 colonna, es 4 e 5

#5 Messaggioda catarsiaffa » domenica 15 luglio 2012, 19:15

:):):) Ottimo!
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