Serie ostica
Inviato: lunedì 10 settembre 2012, 22:54
Gentile professore, non so se ho usato troppa disinvoltua nel risolvere questa serie ..
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}](latexrender/pictures/b3034891cbcad6c81cbd898e5305ff4e.png)
Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:

studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge}](latexrender/pictures/bc85a204aee11da8fd186ccc0fbdac9b.png)
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice.
La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:

la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione
che sappiamo essere convergente quando
osservando che


dunque la seconda serie risulta


nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che
allora posto
, considerando il limite delle somme parziali della serie si ha:



e dunque la serie converge semplicemente per
cioè per 
Concludendo si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=](latexrender/pictures/824094cf5d48a4d82ed8839b50d296c6.png)

![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}](latexrender/pictures/b3034891cbcad6c81cbd898e5305ff4e.png)
Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:

studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge}](latexrender/pictures/bc85a204aee11da8fd186ccc0fbdac9b.png)
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice.
La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:

la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione





dunque la seconda serie risulta


nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che










e dunque la serie converge semplicemente per


Concludendo si ha:
![\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=](latexrender/pictures/824094cf5d48a4d82ed8839b50d296c6.png)
