Serie ... di serie

Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor
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Noisemaker
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Serie ... di serie

#1 Messaggioda Noisemaker » lunedì 1 ottobre 2012, 20:05

\mbox{Determinare il carattere della serie:}

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n\,\,2^j\right)^{\alpha+1}}{ \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{k}\right)^{\frac{\alpha}{2} }} ,\qquad\alpha\in\mathbb{R}

La serie è fortunatamente a termini positivi; consideriamo i vari termini del termine generale della serie:

- \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n\,\,2^j\right)^{\alpha+1}:

si tratta della somma di n termini in progressione geometrica di ragione 2;come noto:

\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\,x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x};

allora nel nostro caso avremo:

\displaystyle\sum_{j=1}^n\,\,2^j=2 +2^2+2^3+\cdots+2^n = \displaystyle2(1 +2 +2^2+\cdots+2^{n-1}) = \displaystyle2 \sum_{j=0}^{n-1}2^{j} 
 =2\left(\frac{1-2^{n-1+1}}{1-2}\right)=-2 ( 1-2^{n } ) =2^{n+1}-2

e dunque:

\left(\displaystyle\sum_{j=1}^n\,\,2^j\right)^{\alpha+1}=\left( 2^{n+1}-2\right)^{\alpha+1}


- \displaystyle\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{k}\right)^{\frac{\alpha}{2} }

ricordando l'apprissimazione asintotica della serie armonica, si ha:

\displaystyle\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{k}\sim \ln n\Rightarrow \left(  \ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}

Fatte queste presmesse, la serie data diventa:


\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{ \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n\,\,2^j\right)^{\alpha+1}}{ \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{k}\right)^{\frac{\alpha}{2} }} \displaystyle \sim \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{\left( 2^{n+1}-2\right)^{\alpha+1}}{\left(  \ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{\left( 2^{n+2}-2\right)^{\alpha+1}}{\left(  \ln (n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot \frac{\left(  \ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}}{\left( 2^{n+1}-2\right)^{\alpha+1}} \displaystyle=\lim_{n\to+\infty}  \frac{\left( 2^ n\cdot 2^2 -2\right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n\cdot 2^2 -2\right) }{\left(  \ln (n+1)\right)^{\frac{\alpha}{2}}}\cdot \frac{\left(  \ln n\right)^{\frac{\alpha}{2}}}{\left( 2^ n\cdot2-2\right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n\cdot2-2\right) } \displaystyle=\lim_{n\to+\infty}  \frac{2^{\alpha+1}\left( 2^ n\cdot 2  -1\right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n\cdot 2  -1\right) }{2^{\alpha+1 }\left( 2^ n -1\right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n -1\right)}\cdot \left( \frac{ \ln n }{  \ln (n+1)}\right)^{\frac{\alpha}{2}}
\displaystyle\sim\lim_{n\to+\infty}  \frac{ \left( 2^ n\cdot 2  \right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n\cdot 2   \right) }{ \left( 2^ n  \right)^{\alpha}\cdot \left( 2^ n \right)}\cdot 1=\lim_{n\to+\infty}  \frac{ 2 ^{n\alpha}\cdot 2 ^{\alpha}  \cdot  2^ n\cdot 2    }{  2^{n\alpha}\cdot2^ n }=2^{\alpha+1}

a questo punto, affinche il criterio del rapporto sia efficace deve essere:

\displaystyle2^{\alpha+1}<1 \Rightarrow \alpha+1<0 \Rightarrow  \alpha<-1

Si conclude dunque che la serie data risulta convergente per \alpha<-1.
....

speriamo bene.... :wink:

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Re: Serie ... di serie

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 17 ottobre 2012, 15:05

A parte limiti fatti metà per volta ed altre amenità/brutalità di questo genere, la sostanza in fondo c'è. Non si tratta però di una serie di serie, ma solo di una serie di sommatorie :lol:


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