polinomio di taylor

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polinomio di taylor

#1 Messaggioda francicko » lunedì 23 settembre 2013, 20:02

Mi chiedevo la seguente domanda, esistono polinomi che approssimano meglio le funzioni come sinx, cosx,e^x, ecc., dei loro rispettivi polinomi di taylor?

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Re: polinomio di taylor

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 25 settembre 2013, 8:18

Domanda profonda ... prima devi definire cosa intendi con "meglio". I polinomi di Taylor sono la migliore approssimazione possibile nel senso di o piccolo, cioè se vuoi approssimare una certa f(x) con un polinomio p(x) di grado <=n in modo che il resto sia o(x^n) per x tendente a 0, allora l'unica possibilità è il polinomio di Taylor. Se invece vuoi che il resto sia piccolo in qualche altro senso a tua scelta, allora la risposta può essere un polinomio diverso!

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Re: polinomio di taylor

#3 Messaggioda francicko » sabato 28 settembre 2013, 13:25

Quale potrebbe essere, ad esempio . un altro senso di scelta?

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Re: polinomio di taylor

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 28 settembre 2013, 15:41

Beh, il resto vogliamo che sia "piccolo", ma cosa vuol dire che una funzione è "piccola"? Per Taylor vuol dire che è o(x^n) in un dato punto.

Altre 2 possibilità sono:
  • una funzione è piccola se il suo valore assoluto è piccolo in un dato intervallo,
  • una funzione è piccola se l'integrale del suo quadrato in un dato intervallo è piccolo.
Queste sono solo due delle tantissime possibilità, ma qui si scivola da analisi 1 ad analisi 3 :).


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