successione per ricorrenza con logaritmo:

Studio di successioni per ricorrenza autonome e non autonome
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Albert95
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successione per ricorrenza con logaritmo:

#1 Messaggioda Albert95 » domenica 29 marzo 2015, 20:07

Ciao, sono nuovo, volevo chiedervi un aiuto sul limite di una successione:
x_{n+1}=\log(1+x_n^2)
L'esercizio chiede a quanto tende il \lim (n^n x_n).
Dopo un po' di stime ho dimostrato che tende a zero, però ho dovuto sfruttare un po di disuguaglianze, volevo sapere se con Cesàro-Stolz ci sta un metodo più veloce, grazie.

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Massimo Gobbino
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Re: successione per ricorrenza con logaritmo:

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 30 marzo 2015, 9:29

Sì, brutalmente è come fare x_{n+1}=x_n^2 quindi l'idea è che tenda a 0 come a^{2^n} per un certo valore di a, dunque batte di gran lunga un povero n^n.

Per dimostrarlo rigorosamente io farei il criterio del rapporto, usato due volte. Chiamata a_n la successione di cui si vuole fare il limite, al primo passaggio

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\ldots=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\cdot\dfrac{\log(1+x_n^2)}{x_n^2}\cdot(n+1)x_n

Ora i primi due termini sono limiti notevoli, il terzo si sistema applicando solo su di esso un ulteriore criterio del rapporto facile-facile.

Stolz-Cesàro è come l'Hopital, dunque è ben lontano dall'essere la panacea di tutti i mali. Ci sono casi in cui è fondamentale e cava dai guai, ma spesso non fa che complicare le cose.


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