Successione con la ricorrenza in un integrale!

Studio di successioni per ricorrenza autonome e non autonome
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C_Paradise
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Successione con la ricorrenza in un integrale!

#1 Messaggioda C_Paradise » lunedì 25 maggio 2015, 21:44

Stavo studiando la successione definita per ricorrenza nell'immagine in allegato, ma non riesco proprio a dire se la serie al punto b) converge o meno, ho dimostrato che cresce meno di 2 elevato alla 2 alla n, ma non sono riuscito a fare di meglio, qualche aiuto?
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Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 26 maggio 2015, 18:54

Beh, in brutal mode è come fare

x_{n+1}=\dfrac{x_n^2}{2}

Ora per induzione verrebbe da dimostrare che ...

C_Paradise
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Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

#3 Messaggioda C_Paradise » giovedì 28 maggio 2015, 17:56

Per induzione sono riuscito a dimostrare che x_n\le\frac{2}{2^{2^n}} quindi usando il criterio del rapporto con z_n=2^{2^n}x_n ottengo \frac{z_{n+1}}{z_n}=\frac{2^{2^{n+1}}}{2^{2^n}}\cdot\frac{x_{n+1}}{x_n}=2^{2^n}\frac{\int_{0}^{x_n}\frac{\sin\left(t^2\right)}{t}\,dt}{x_n}\le2^{2^n}\cdot\frac{x_n}{2}\le1 ma non sono riuscito a fare meglio di così e sono bloccato :?:

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Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 28 maggio 2015, 21:33

Forse riesci a dimostrare anche che

x_n\leq\dfrac{2}{2^{2^n+n}}

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Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

#5 Messaggioda C_Paradise » giovedì 28 maggio 2015, 22:18

Grazie mille! :D


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