Successione con la ricorrenza in un integrale!

C_Paradise

Stavo studiando la successione definita per ricorrenza nell'immagine in allegato, ma non riesco proprio a dire se la serie al punto b) converge o meno, ho dimostrato che cresce meno di 2 elevato alla 2 alla n, ma non sono riuscito a fare di meglio, qualche aiuto?

Sito web

Beh, in brutal mode è come fare

$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2}{2}$

Ora per induzione verrebbe da dimostrare che ...

C_Paradise

Per induzione sono riuscito a dimostrare che $x_n\le\frac{2}{2^{2^n}}$ quindi usando il criterio del rapporto con $z_n=2^{2^n}x_n$ ottengo $\frac{z_{n+1}}{z_n}=\frac{2^{2^{n+1}}}{2^{2^n}}\cdot\frac{x_{n+1}}{x_n}=2^{2^n}\frac{\int_{0}^{x_n}\frac{\sin\left(t^2\right)}{t}\,dt}{x_n}\le2^{2^n}\cdot\frac{x_n}{2}\le1$ ma non sono riuscito a fare meglio di così e sono bloccato :?:

Sito web

Forse riesci a dimostrare anche che

$x_n\leq\dfrac{2}{2^{2^n+n}}$

C_Paradise

Grazie mille!

Forum Studenti

Successione con la ricorrenza in un integrale!

Successione con la ricorrenza in un integrale!

Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

Re: Successione con la ricorrenza in un integrale!

Chi c’è in linea