Successione non lineare non autonoma

Studio di successioni per ricorrenza autonome e non autonome
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gg_math
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Successione non lineare non autonoma

#1 Messaggioda gg_math » sabato 30 maggio 2015, 12:17

Data la successione x_{n+1}=\frac{5x_{n}+7}{3n+1} dire se la serie \sum x_{n}^2 converge e calcolare il \lim nx_{n}.

A occhio direi che il limite è 7/3, però applicare il rapporto non mi ha portato a nulla. :(

Per stimare come x_{n} va a 0 posso dire che è compresa tra \frac{7}{3n+1} e \frac{7+\epsilon}{3n+1} e quindi concludere?

C_Paradise
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Re: Successione non lineare non autonoma

#2 Messaggioda C_Paradise » martedì 9 giugno 2015, 19:46

Ciao! Penso che l'esercizio che proponi sia l'ultimo di successioni definite per ricorrenza non lineari - studio 6? Se è così consideriamo il dato iniziale x1=2015, a spanne procederei così y_n=nx_n da cui y_{n+1}=\left( n+1 \right)x_{n+1}=\frac{5y_n}{3n+1} + \frac{5x_n}{3n+1} + \frac{7n+7}{3n+1}, supponiamo che con quel dato iniziale tu abbia dimostrato sia che x_n che y_n siano limitate, fatto questo fai limsup e liminf ad ambo i membri dell'uguaglianza e ottieni che il limite è 7/3 a patto sempre di aver dimostrato la limitatezza. Per la serie punterei sulla convergenza (ma potrei sbagliarmi) z_n=x_n^2 abbiamo z_{n+1}=\frac{25z_n}{\left(3n+1\right)^2} + \frac{70x_n+49}{\left(3n+1\right)^2} proverei a dimostrare per induzione che z_n \le \frac{A}{n^2} per un certo valore di A>0, se riesci a farlo concludi per confronto fra serie a termini positivi..

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Re: Successione non lineare non autonoma

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 9 giugno 2015, 21:15

Mi sembra che entrambe le strade indicate siano valide. Certo che se si vuole dimostrare che un limite è 7/3, è difficile poterlo fare con il rapporto.

Io farei così l'esercizio.

Passo 1: dimostro che la successione è limitata (dal basso da 0, dall'alto da un opportuno M): mi pare che questo sia una facile induzione.

Passo 2: dimostro che la successione tende a 0 (limitatezza + carabinieri).

Passo 3: dimostro che la successione è compresa tra 2 costanti diviso n (dal punto precedente): questo sistema la serie.

Passo 4: dimostro il 7/3 andando a mettere il passo 3 nella ricorrenza.

Non so se si è capito: se provate ad esplicitare i dettagli controlliamo.


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