Sucessioni per ricorrenza 4, ultimo esercizio

[dakron9]

Salve a tutti.
sono alle prese con questo esercizio:

[math]a_{n+1} = (1 - \frac{1}{n})\sqrt{a_{n}}
con [math]a_2=\frac{1}{20}

ho già dimostrato che:

1) [math]0 \le a_n \le 1
2) [math]a_n \le a_{n+1}

il mio problema è trovare un termine più piccolo di [math]a_n che tende a 1 (per usare il confronto a 3) e dimostrare che il limite è 1

l'unica idea che ha funzionato l'ho presa dalla lezione 90 del corso analisi 1 per matematica 2014/2015, ossia passare al limite:

[math]a_{n+1} = (1 - \frac{1}{n})\sqrt{a_{n}} \rightarrow l = 1 \sqrt{l}
ottengo [math]l = \sqrt{l} che ha 2 soluzioni: 0 e 1.

escludo [math]l \rightarrow 0 in quanto la successione è crescente e il termine più piccolo, ossia [math]a_2 è maggiore di zero.
quindi l'unica soluzione è 1.

qualche idea per usare il confronto?

vi ringrazio in anticipo

[Massimo Gobbino]

Beh, la strada canonica è quella che hai indicato tu!

Trovare una stima dal basso mi sembra estremamente hard. Un primo passo in quella direzione sarebbe scoprire come tende a zero la successione [math]1-a_n. A quel punto si può tentare di sparare una stima opportuna dal basso e dimostrarla per induzione.

Ma il livello dell'esercizio sale ...