Equazioni trigonometriche - AIUTO [SOLVED]

Discussione di esercizi sul Precorso e le parti preliminari del programma
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mateusz
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Equazioni trigonometriche - AIUTO [SOLVED]

#1 Messaggioda mateusz » lunedì 31 marzo 2014, 23:53

Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: 2cos^2(2x) + cos(2x) = 0

Pongo 2x = a, quindi 2cos^2(a) + cos(a) = 0
Pongo cos(a) = t , quindi 2t^2 + t = 0 , t_1 = 0 e t_2 = -1/2

cos(a) = 0 , da cui a = \pm \pi/2 + 2K\pi ==>> 2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi con K \in Z

cos(a) = -1/2 , da cui a = \pi - \pi/3 + 2K\pi ==>> 2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi con K \in Z

Per simmetria: cos(a) = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi==>> 2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi con K \in Z

Quindi le MIE soluzioni sono: x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi con K \in Z

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi ??

SECONDA EQUAZ: \sqrt{3}sinX = cosX

Il mio ragionamento:

\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0

INIZIO SISTEMA
cos\varphi = \sqrt{3}/2
sin\varphi = -1/2
FINE SISTEMA
Ottengo che \varphi = \pi/6

cos(\pi/6) sinX - sin(\pi/6) cosX = 0

Dalle formule degli archi associati:

sin(x - \pi/6) = 0
x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi con K \in Z
x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi con K \in Z

Quindi le mie soluzioni sono: x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi con K \in Z

Il testo pone come soluz: x = \pi/6 + 2K\pi con K \in Z

TERZA ED ULTIMA: 4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0

Supponiamo che x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1 La nostra equaz si ridurrebbe a sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0

\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}

Quindi...

4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0
tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0
tan^2X + (2\sqrt{3} - 4)tanX + 3 = 0 ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre tanX = t e trovare t_1 , t_2 ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.


Spero che sia chiara la formattazione e spero che qualcuno sia cosi' gentile da darmi una mano qui.

Ciao a tutti,

Mateusz.
Ultima modifica di mateusz il martedì 1 aprile 2014, 14:41, modificato 1 volta in totale.

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Re: Equazioni trigonometriche - AIUTO

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 aprile 2014, 12:24

mateusz ha scritto:Salve a tutti, sono nuovo in questo forum, non seguo direttamente le lezioni del Prof. Gobbino ma ho usufruito delle sue videolezioni sulla propedeutica e su analisi 1 quindi vorrei postare un paio di equazioni ed espressioni trig. che non riesco del tutto a risolvere, spero che qualcuno possa darmi una dritta:

PRIMA EQUAZ: 2cos^2(2x) + cos(2x) = 0

Pongo 2x = a, quindi 2cos^2(a) + cos(a) = 0
Pongo cos(a) = t , quindi 2t^2 + t = 0 , t_1 = 0 e t_2 = -1/2

cos(a) = 0 , da cui a = \pm \pi/2 + 2K\pi ==>> 2x = \pm \pi/2 + 2K\pi , x = \pm \pi/4 + K\pi con K \in Z

cos(a) = -1/2 , da cui a = \pi - \pi/3 + 2K\pi ==>> 2x = 2\pi/3 + 2K\pi , x = \pi/3 + K\pi con K \in Z

Per simmetria: cos(a) = -1/2 , a = \pi/3 - \pi + 2K\pi==>> 2x = -2\pi/3 + 2K\pi , x = -\pi/3 + K\pi con K \in Z

Quindi le MIE soluzioni sono: x = \pm \pi/4 + K\pi \cup x = \pm \pi/3 + K\pi con K \in Z

Domanda, perche' nel testo di riferimento mettono come soluzioni: x = \pi/4 + K\pi/2 \cup x = \pm \pi/3 + K\pi ??

Mateusz.


x = \pm \pi/4 + K\pi

e

x = \pi/4 + K\pi/2

sono la stessa soluzione :)
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Re: Equazioni trigonometriche - AIUTO

#3 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 aprile 2014, 12:30

mateusz ha scritto:SECONDA EQUAZ: \sqrt{3}sinX = cosX

Il mio ragionamento:

\sqrt{3}/2 sinX - 1/2 cosX = 0

INIZIO SISTEMA
cos\varphi = \sqrt{3}/2
sin\varphi = -1/2
FINE SISTEMA
Ottengo che \varphi = \pi/6

cos(\pi/6) sinX - sin(\pi/6) cosX = 0

Dalle formule degli archi associati:

sin(x - \pi/6) = 0
x - \pi/6 = 2K\pi , x = \pi/6 + 2K\pi con K \in Z
x - \pi/6 = \pi + 2K\pi , x = 7\pi/6 + 2K\pi con K \in Z

Quindi le mie soluzioni sono: x = \pi/6 + 2K\pi \cup x = 7\pi/6 + 2K\pi con K \in Z

Il testo pone come soluz: x = \pi/6 + 2K\pi con K \in Z


questa forse l'hai complicata un po'...

dividendo per cosx \neq 0 ottieni immediatamente tanx = \sqrt3/3

che ha soluzione x = \pi/6 + K\pi che coincide con la tua

certo bisogna prestare attenzione a quando dividi per cosx ma in questo caso non elimini soluzioni e quella ottenuta è compatibile con l'assunzione fatta
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Re: Equazioni trigonometriche - AIUTO

#4 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 aprile 2014, 12:34

mateusz ha scritto:TERZA ED ULTIMA: 4sin^2X - 2\sqrt{3}sinXcosX - 2cos^2X - 1 = 0

Supponiamo che x = \pi/2 + 2K\pi \Longrightarrow cosX = 0 , sinX = 1 La nostra equaz si ridurrebbe a sin^2X = 1/4 \Longrightarrow cosX \not= 0

\frac{4sin^2X}{cos^2X} -2\sqrt{3}\frac{sinXcosX}{cos^2X} - \frac{2cos^2X}{cos^2X} - \frac{sin^2X}{cos^2X} - \frac{cos^2X}{cos^2X}

Quindi...

4tanX - 2\sqrt{3}tanX - 3 - tan^2X = 0
tan^2X - 4tanX + 2\sqrt{3}tanX + 3 = 0
tan^2X + (2\sqrt{3} - 4)tanX + 3 = 0 ...da qui in poi non so come procedere? Il piano d'azione sarebbe porre tanX = t e trovare t_1 , t_2 ma non so come calcolare i valori di t visto che ho radice di radice e viene fuori un paciugo.


se sfrutti il fatto che

cos^2x+sen^2x=1

elimini il termine costante

poi dividi tutto per cos^2x \neq 0 e ti riduci a questa:

3tan^2x - 2\sqrt{3}tanx - 3 = 0

sulla divisione per cos^2x valgono le cautele indicate prima :)
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Re: Equazioni trigonometriche - AIUTO

#5 Messaggioda mateusz » martedì 1 aprile 2014, 12:43

Ciao GIMUSI,

grazie mille per la tua risposta che e' stata molto chiara e di grande aiuto, pero' rimane un dubbio...perche' le due scritture sono la stessa cosa nella PRIMA?
Vorrei precisare che ho cominciato lo studio della trigonometria da poco quindi e' possibile che mi sfugga qualche cosa...se mi potessi spiegare perche' sono la stessa cosa te ne sarei molto grato.

...se ho capito bene allora...anche la seconda soluzione la si puo' scrivere come:

x = \pi/3 + K\pi/2 ??

Mateusz.

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#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 1 aprile 2014, 12:57

mateusz ha scritto:Ciao GIMUSI,

grazie mille per la tua risposta che e' stata molto chiara e di grande aiuto, pero' rimane un dubbio...perche' le due scritture sono la stessa cosa nella PRIMA?
Vorrei precisare che ho cominciato lo studio della trigonometria da poco quindi e' possibile che mi sfugga qualche cosa...se mi potessi spiegare perche' sono la stessa cosa te ne sarei molto grato.

...se ho capito bene allora...anche la seconda soluzione la si puo' scrivere come:

x = \pi/3 + K\pi/2 ??

Mateusz.


no nel secondo caso non è affatto la stessa cosa...

ti consiglio di fare un disegno della circonferenza individuando i punti nei vari casi :)
GIMUSI

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Re: Equazioni trigonometriche - AIUTO [SOLVED]

#7 Messaggioda mateusz » martedì 1 aprile 2014, 14:38

aaaahhhhhh si certo ok ci sono!!

Tutto chiaro adesso!

Grazie ancora!


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