Insiemi numerici

Discussione di esercizi sul Precorso e le parti preliminari del programma
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Giacomo
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Insiemi numerici

#1 Messaggioda Giacomo » mercoledì 13 maggio 2015, 19:37

buongiorno a tutti
Sarebbe possibile definire N come un insieme che ha:
tutte le proprietà della somma naturali( comm. ass. elem neutro. )
le analoghe proprietà del prodotto
la proprietà distributiva;
un ordinamento con le stesse proprietà che ha in R e che vanno bene anche per N;
+ il fatto che 0 è un minimo e che tra 0 e 1 non ci sono elementi;
e dimostrare che ha tutte le proprietà di peano?

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Re: Insiemi numerici

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 14 maggio 2015, 19:48

Domanda interessante. Intanto che qualcuno ci pensa e (spero) risponde, sposto nella sezione giusta :wink:.

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Re: Insiemi numerici

#3 Messaggioda Giacomo » lunedì 18 maggio 2015, 18:21

non mi riesce dimostrare il principio di induzione.. e non voglio pensare che esistano insiemi "cosi naturali " in cui non vale tale principio.. qualcuno saprebbe aiutarmi?

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Re: Insiemi numerici

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 18 maggio 2015, 19:11

Pensa a

\{0\}\cup[1,+\infty)

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Re: Insiemi numerici

#5 Messaggioda Giacomo » martedì 19 maggio 2015, 0:10

pensavo che il fatto che non ci fossero numeri tra 0 e 1 implicasse che non ci fossero numeri tra n e n+1 generico.. ma non avendo mai provato a dimostrarlo credevo male! dato che non lo implica mi chiedo, si possono dimostrare le proprietà di peano cambiando l' ultima proprietà con " qualunque n non esistono numeri compresi strettamente tra n e n+1?

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Re: Insiemi numerici

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 20 maggio 2015, 8:57

Direi che non basta ancora ... e nota che stai mettendo assiomi pesantissimi (tutte le proprietà algebriche della somma), più infinite proprietà dell'ordinamento, senza riuscire ancora a dedurre il semplice Peano. Il problema è che con i soli assiomi della somma nessuno ti assicura che partendo da 0 e continuando ad aggiungere 1 raggiungi ogni elemento. Ovviamente l'esempio si fa sempre più riposto, e avanti di questo passo arriveremo agli ordinali. L'esempio qui penso che possa essere \mathbb{N}\times\mathbb{N} con somma definita component-wise

(a_1,b_1)+ (a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)

e ordinamento lessicografico, cioè (a_1,b_1)\leq(a_2,b_2) se e solo se a_1<a_2 oppure a_1=a_2 e b_1<b_2 . Lo zero è la coppia (0,0) e l'unità è la coppia (0,1). Continuando a sommare l'unità si raggiunge solo il primo livello (0,n), ma non si può arrivare ai "piani superiori" (il piano è la prima variabile :D ).


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