Equazione parametrica con radice e valore assoluto

Discussione di esercizi sul Precorso e le parti preliminari del programma
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Valerio
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Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#1 Messaggioda Valerio » mercoledì 27 luglio 2016, 18:11

Come determinare per quali valori del parametro reale a>0, l'equazione

[math]

ha due soluzioni reali e distinte? Ho provato a risolverlo studiando i due casi in funzione del segno dell'argomento del valore assoluto. In questo modo vengono fuori 2 equazioni in x di secondo grado ma ancora non ho ben inquadrato come concludere. Meglio seguire un altro metodo oppure la strada è giusta anche se non riesco a concludere l'esercizio ?
Ultima modifica di Valerio il lunedì 1 agosto 2016, 14:35, modificato 1 volta in totale.

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Re: Serie parametrica

#2 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 27 luglio 2016, 20:11

per prima cosa credo che questo esercizio andasse postato in "Preliminari"

per la soluzione credo che dovresti per prima cosa distinguere due casi (x>=a e x<a)

per ogni caso, elevando al quadrato si ottengono due equazioni di secondo grado che puoi risolvere imponendo le due condizioni richieste

- delta > 0

- x>=a in un caso e x<a nell'altro [edit: c'erano degli zeri al posto della "a"]

credo che vengano dei conti un po' lunghi eh...e magari c'è qualche via più rapida :roll:
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#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 27 luglio 2016, 21:01

GIMUSI ha scritto:per prima cosa credo che questo esercizio andasse postato in "Preliminari"


... e io sposto ... e metto un titolo più sensato ... ma sarà il gran caldo che spinge la gente a postare in sezioni a caso con titoli random?

Quanto all'esercizio, in questo caso farsi un'idea con una interpretazione grafica sarebbe istruttivo.

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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#4 Messaggioda Valerio » giovedì 28 luglio 2016, 10:20

Giusto professore. Diciamo che è stato il gran caldo :?

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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#5 Messaggioda GIMUSI » giovedì 28 luglio 2016, 22:17

allego un possibile svolgimento secondo la prima idea che mi era venuta in mente

e come suggerito dal prof, con l'interpretazione grafica ci si arriva in modo più diretto

[EDIT] in revisione
Ultima modifica di GIMUSI il venerdì 29 luglio 2016, 9:41, modificato 1 volta in totale.
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#6 Messaggioda GIMUSI » venerdì 29 luglio 2016, 8:40

rivedendo la soluzione oggi mi viene qualche dubbio :?:

credo ci sia qualcosa da rimettere a posto! :cry:
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#7 Messaggioda Valerio » venerdì 29 luglio 2016, 10:29

Ho visto lo svolgimento. La soluzione esatta dell'esercizio è a=2^(-4/3). Io penso che una volta chiarito graficamente cosa sono i due oggetti 2ax (una retta per l'origine con coeff. ang. positivo ) e √Ix-aI (una radice che si annulla in un certo a>0 e simmetrica rispetto la retta immaginaria x=a) basta risolvere [math] (cioè faccio il quadrato con le opportune condizioni d'esistenza, anche se poi alla fine non mi pare servano ad un granchè se non per sbattere via il valore assoluto ). E' un'eq. di secondo grado ed impostando delta =0 ( perchè la retta 2ax deve essere tangente alla funzione √Ix-aI per esserci 2 soluzioni ed il delta nullo è la condizione che deve verificarsi per garantire la tangenza di questi due oggetti) si trova proprio a=2^(-4/3). Il risultato torna quindi dovrebbe essere corretto. Giusto?

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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#8 Messaggioda GIMUSI » venerdì 29 luglio 2016, 11:10

graficamente pare ci siano due soluzioni corrispondenti ai valori a* di tangenza (positivo e negativo direi)

la tua interpretazioni su come ricavarla algebricamente non mi convince molto...in serata conto di rifarlo per benino...sempre che ci riesca eh :roll:

poi magari la commentiamo :wink:
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#9 Messaggioda GIMUSI » domenica 31 luglio 2016, 0:36

allego qui una possibile soluzione revisionata

credo sia opportuno in effetti, come indicato dal prof, partire subito dall'interpretazione grafica che consente di avere subito un'idea chiara di come vanno le cose e di determinare la soluzione imponendo le condizioni di tangenza

ho tentato anche di sviluppare un "modo algebrico" che in assenza di un'interpretazione grafica risulta ricco di insidie e tranelli (l'elevamento al quadrato aggiunge soluzioni da scartare); fatto a posteriori invece credo che funzioni abbastanza bene

ci sentiamo come detto per commenti e osservazioni :)
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#10 Messaggioda Valerio » lunedì 1 agosto 2016, 12:17

GIMUSI ha scritto:allego qui una possibile soluzione revisionata

credo sia opportuno in effetti, come indicato dal prof, partire subito dall'interpretazione grafica che consente di avere subito un'idea chiara di come vanno le cose e di determinare la soluzione imponendo le condizioni di tangenza

ho tentato anche di sviluppare un "modo algebrico" che in assenza di un'interpretazione grafica risulta ricco di insidie e tranelli (l'elevamento al quadrato aggiunge soluzioni da scartare); fatto a posteriori invece credo che funzioni abbastanza bene

ci sentiamo come detto per commenti e osservazioni :)

Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda :? )

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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#11 Messaggioda GIMUSI » lunedì 1 agosto 2016, 13:59

Valerio ha scritto:...Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda :? )


una volta ricavato

[math]

si ricava

[math]

quindi si impone

[math] (ultima equazione scritta)

e poi si ricava [math]
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#12 Messaggioda Valerio » lunedì 1 agosto 2016, 14:33

GIMUSI ha scritto:
Valerio ha scritto:...Negli ultimi passaggi dell'interpretazione grafica non ho capito perchè la x sparisce e viene sostituita con una quantità in funzione di teta. ( Chiedo scusa ma deve essermi partita accidentalmente una segnalazione nel tentativo precedente di fare questa domanda :? )


una volta ricavato

[math]

si ricava

[math]

quindi si impone

[math] (ultima equazione scritta)

e poi si ricava [math]


Quindi ricapitolando : Per essere tangenti i due oggetti devono avere le derivate uguali, mi ricavo la x tenendo conto di ciò e una volta ricavata la sostituisco nell'equazione iniziale. Determino così il valore esatto del parametro a. Fin qui ho capito ma mi chiedo, dato che il risultato tornava, cosa c'era di sbagliato nell'elevare al quadrato [math] ed imporre il delta dell'equazione di secondo grado che veniva fuori uguale a zero?

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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#13 Messaggioda GIMUSI » lunedì 1 agosto 2016, 14:44

Valerio ha scritto:...ma mi chiedo, dato che il risultato tornava, cosa c'era di sbagliato nell'elevare al quadrato [math] ed imporre il delta dell'equazione di secondo grado che veniva fuori uguale a zero?


visto nell'ambito dello stesso procedimento con interpretazione grafica è assolutamente ok (se sai già che una soluzione viene fuori dal ramo sinistro e imponi di averne solo una per il lato destro) ... forse nella prima lettura non avevo interpretato correttamente le tue intenzioni :)
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Re: Equazione parametrica con radice e valore assoluto

#14 Messaggioda Valerio » lunedì 1 agosto 2016, 15:50

Perfetto, grazie mille ancora una volta per l'aiuto e la disponibilità :D. Almeno sono venuti fuori più metodi per risolvere lo stesso esercizio.


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