Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

Discussione di esercizi sul Precorso e le parti preliminari del programma
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Mentina
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Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#1 Messaggioda Mentina » mercoledì 28 settembre 2016, 1:26

Siano [math] insiemi, e [math] delle funzioni secondo la definizione "rigorosa" della lezione 003 con [math] e [math].
[math] è la funzione composta definita in questo modo:
[math] prendo l'unico [math] per cui [math] e poi prendo l'unico [math] per cui [math], in questo modo ho sempre un unico [math] per cui [math]
Possiamo poi definire [math] come l'unico [math] che rispetta la relazione [math].

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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 28 settembre 2016, 8:03

Quello che uno vorrebbe fare è definire H a partire da F e G, senza mai nemmeno nominare le fantomatiche "leggi" f e g.

Giacomo
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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#3 Messaggioda Giacomo » mercoledì 28 settembre 2016, 15:10

Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;

sia F [math] A[math]B tc. F è una funzione.
sia G [math] B[math]C tc. G è una funzione.

dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.

considero ora il seguente insieme:

H= { (a,c) [math] A [math] C, tc. [math] b[math] B tc. ( (a,b) [math] F, e (b,c) [math] }

2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:

- [math] a [math] A [math] c [math] C, tc. (a,c) [math] H;
- (a,[math]), (a,[math])[math] H [math] [math]=[math];


proviamo la prima:
prendo a [math] A, esiste b[math] B tale che (a,b) [math] F, perchè F è una funzione. ora [math]c[math] C tc. (b,c)[math] G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;

proviamo la seconda:
siano (a,[math]) e (a,[math]) [math] H; allora esistono [math] e [math] tali che
- (a, [math]) [math]F
-(a, [math]) [math]F

- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;

poichè F è una funzione, [math]) deve essere uguale a [math]); (non puo essere che a assuma 2 valori)

quindi si deve avere che
- ([math], [math]) [math]G;
- ([math], [math]) [math]G;

poichè G è una funzione [math]=[math]( non può essere che [math] assuma due valori)

dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";
Ultima modifica di Giacomo il lunedì 3 ottobre 2016, 22:10, modificato 1 volta in totale.

Mentina
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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#4 Messaggioda Mentina » domenica 2 ottobre 2016, 22:08

Grazie!

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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 3 ottobre 2016, 7:50

La costruzione/dimostrazione di Giacomo è sostanzialmente corretta, a parte un po' di segni di "contenuto" che invece dovrebbero essere "appartiene".

Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare [math] e [math] invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di [math] e [math].

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Re: Definizione di funzione composta con definizione di funzione "rigorosa"

#6 Messaggioda Giacomo » venerdì 21 ottobre 2016, 16:29

Un pò in ritardo ma dovrei aver sistemato gli errori, come indicato dal professore


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