esercizio topologia

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Albert95
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esercizio topologia

#1 Messaggioda Albert95 » lunedì 20 aprile 2015, 20:34

Ciao, stavo con Stefano a fare questo esercizio di analisi e mi sono imbattuto nel seguente esercizio di cui volevo un parere:
dimostrare che:
Sia A\subseteq\mathbb{R} un insieme e sia Int(A)=A=Clos(A), allora A=\mathbb{R} oppure A=\emptyset.

La mia dimostrazione era la seguente:

Consideriamo A\subseteq\mathbb{R} e supponiamolo non vuoto. Allora \exists x_0 \in A.

Definiamo T=\left\{x_0 +r \mid \left (x_0 , x_0+r\right )\subseteq A, r\ge 0 \right\}=\left\{x_0+r  \mid \left [x_0, x_0+r]\right \subseteq A, r\ge 0 \right\}, in particolare T \subseteq A

Supponiamo per assurdo \sup T=L\in\mathbb{R} (il \sup esiste perche' essendoci almeno x_0\ne\emptysetallora per la caratterizzazione di \sup: \left (L-\epsilon, L \right ] \cap T \ne 

\emptyset \quad \forall \epsilon>0, essendo T\subseteq A si ha anche che \left (L-\epsilon, L \right ] \cap A \ne \emptyset \quad \forall \epsilon>0, cioe' L\in Clos(A)=A

A=Int(A) \rightarrow (L-\epsilon,L+\epsilon) \subseteq A, A=Clos(A) \rightarrow [L-\epsilon, L+\epsilon]\subseteq A.

Ma allora [x_0,L] \cup [L-\epsilon, L+\epsilon]= [x_0, L+\epsilon] \subseteq A da cui \sup T=L+\epsilon.

Assurdo

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