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Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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francicko
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#1 Messaggioda francicko » domenica 7 dicembre 2014, 11:33

Il limite xlogx per x che tende a 0 da 0, e se non sbaglio si può risolvere anche senza l'uso di Hopital, in quanto si può riscrivere nella forma lim_{t\to infty}(t/e^t), ponendo logx=t, e dal confronto tra infiniti si deduce che il limite è 0.
Ora mi chiedevo se ho il limite (logx)^x, per x che tende a 0, abbiamo se non erro una forma indeterminata e qualsiasi sostituzione sembrerebbe non portare a nulla, come si può procedere per arrivare alla soluzione?
Io ho notato che lim_{x\to 0}(1/x^x)=1, e da qui avrei dedotto che anche il limite (logx)^x per x che tende a 0, è 1, :roll:

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Re: limite

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 8 dicembre 2014, 8:33

Beh, intanto l'espressione (\log x)^x non è ben definita in un intorno destro di 0, in quanto sarebbe un esponenziale con base negativa ...

Quindi probabilmente quello che vorresti considerare è |\log x|^x. Questo si fa come sempre passando all'esponenziale, il che porta a calcolare il limite a 0+ di x\log|\log x|.

A questo punto basta osservare che

x\log|\log x|=x|\log x|\cdot\dfrac{\log|\log x|}{|\log x|}

ed il gioco è fatto con semplici cambi di variabile :D


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