Taylor con centro qualunque

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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Ancient Mariner
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Taylor con centro qualunque

#1 Messaggioda Ancient Mariner » domenica 24 maggio 2015, 19:14

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla formula di Taylor con centro qualunque. In pratica, noi approssimiamo il valore di una funzione per x che tende a un certo punto x0 con un polinomio, e l'errore commesso è o(x-x0). Ma o(x-x0) non è Ogrande(x0)? Cioè, in pratica ad ogni passaggio la nostra serie di Taylor ci spara fuori dei nuovi termini che possono addirittura contenere dei numeri. Quindi, a cosa serve esprimere f(x) come un polinomio che, ad ogni nuovo termine della serie, può cambiare anche radicalmente? Tanto varrebbe scrivere direttamente f(x)=o(x-x0)! O mi sono perso qualche passaggio?

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Massimo Gobbino
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Re: Taylor con centro qualunque

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 26 maggio 2015, 12:20

Cerco di interpretare quello che vorresti dire ... I tuoi timori nascono dal fatto che, quando passiamo dal polinomio di grado n a quello di grado n+1, si aggiunge un termine del tipo (x-x_0)^{n+1} moltiplicato per una certa costante, e questo nuovo termine, se uno lo va a sviluppare bovinamente, produce tanti monomi, pure di grado 0, per cui pure il termine noto del polinomio di Taylor continua a cambiare man mano che aumentiamo il grado.

Se questo è il dubbio, la risposta è che è sbagliato pensare i polinomi di Taylor in un punto strano come funzioni di x. Vanno pensati come funzioni di (x-x_0), ed è il motivo per cui io di solito chiamo h quella differenza e vedo tutto in funzione di h. In questa nuova variabile, quando si aumenta il grado si aggiunge un solo termine, proprio come nel caso con centro in 0.

La cosa si interpreta anche graficamente. I polinomi di Taylor "tendono a diventare sempre più simili alla funzione" (almeno per le funzioni classiche). Se lo sviluppo è in un punto diverso dall'origine, il valore dei polinomi in 0 (che è il termine noto se pensiamo il polinomio nella variabile x) tenderà pian piano a f(0), dunque è chiaro che deve cambiare di volta in volta. Invece il valore in x_0, che è il termine noto se pensiamo i polinomi nella variabile h, resta sempre lo stesso.

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Re: Taylor con centro qualunque

#3 Messaggioda Ancient Mariner » martedì 26 maggio 2015, 13:15

Ok, grazie. Cercherò di affrancarmi dalla mia bovinaggine :roll:


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