Serve proprio De L'Hopital? [era: limite]

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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francicko
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Serve proprio De L'Hopital? [era: limite]

#1 Messaggioda francicko » mercoledì 19 agosto 2015, 13:21

Navigando su internet ho trovato questo limite

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)

usando hopital e' immediato ed il risultato è 1, ma si richiede di risolverlo senza hopital, a me sembra impossibile , che me pensate?

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Re: limite

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 20 agosto 2015, 8:48

Questo è un classico che si fa tutti gli anni. Lo puoi trovare, per esempio, nelle lezioni di quest'anno tra i primi esempi di applicazione di De l'Hopital (e c'è anche come farlo senza).

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Re: limite

#3 Messaggioda francicko » venerdì 21 agosto 2015, 23:52

Molte grazie!!

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Re: limite

#4 Messaggioda francicko » domenica 23 agosto 2015, 9:13

E se il limite e' questo?

\displaystyle\lim_{x\to 1} \frac{\arctan (x)-\arctan(1)}{x-1}

si può risolvere solo con hopital o mi sbaglio?

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Re: limite

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 23 agosto 2015, 15:26

La seconda :D

Ci sono formule di addizione/sottrazione anche per l'arcotangente (se ne parla nell'eserciziario di quest'anno insieme alle funzioni trigonometriche inverse), e con quelle dovrebbe venire facilmente.

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Re: Serve proprio De L'Hopital? [era: limite]

#6 Messaggioda francicko » giovedì 27 agosto 2015, 8:22

Grazie tante per le risposte!
Un ultima domanda, e' possibile, ad esempio, risolvere il limite

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}

con formule elementari ricavate da considerazioni sul cerchio trigonometrico senza necessariamente ricorrere a Taylor od Hopital?
Saluti!

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Re: Serve proprio De L'Hopital? [era: limite]

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 27 agosto 2015, 9:14

No! Questo è un limite che va a toccare un termine successivo nello sviluppo di Taylor (il terzo, in questo caso) quindi *non* si può fare con i limiti notevoli, i quali sappiamo essere equivalenti al primo termine di Taylor.

Si tratta quindi di un limite "post-tayloriano", che richiede strumenti di ordine superiore (Hopital, Taylor, Cesaro-Stolz, o equivalenti).

In altre parole: un limite si può fare per "via elementare" se e solo se tocca solo il primo termine non costante di Taylor.


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