limiti dove compare la parte intera

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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Joninho
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limiti dove compare la parte intera

#1 Messaggioda Joninho » martedì 8 dicembre 2015, 15:44

Buongiorno a tutti, sono uno studente al primo anno di Matematica perso l'Università degli studi di Firenze; un mio vecchio compagno di classe delle superiori che si è trasferito a Pisa per seguire Ingegneria Informatica mi ha consigliato di seguire questo grandissimo professore che ha il buon cuore di mettere tutte le sue lezioni online a disposizione di tutti. In tantissime situazioni sono stato "salvato" proprio perché quando non riuscivo a capire qualcosa dagli appunti che prendevo a lezione, o dal libro, la trovavo nei suoi video, solo un argomento non sono riuscito a trovare: la parte intera. So che cos'è e come funziona ma mi rimane difficile appena la trovo negli esercizi...
Il mio problema in particolare riguarda questi esercizi di Analisi sui limiti, dove compare proprio questa parte intera e tra una settimana ho il primo parziale e mi resta da capire solo quest'ultime cose...
Perdonatemi ma non riesco a scrivere il testo degli esercizi nella maniera in cui lo scrivete voi :|
Avrei da risolvere questi limiti:

lim 1/x - [1/x]
x-> 0
Qui il mio professore mi ha solo detto che il limite non esiste e di dimostrarlo con il lim sup e lim inf però non saprei come muovermi :(

lim 1/x^2 - [1/x]
x->0

lim 1/x^2 [1/x - [1/x]]
x->0
Qua posso dire che il limite fa 0 perché all'interno della parte intera più esterna mi ritrovo una parte intera, e la parte intera della parte intera è la parte frazionaria che è 0 spaccato. 0 spaccato diviso qualcosa che tende a infinito posso dire che non è una forma indeterminata dato che al numeratore ho proprio 0 e non qualcosa a cui ci tende?

lim [radice di n]! / n^2 ln(n)
n-> inf

lim [radice di (n^(2) + 1 )] - n
n->inf


Insomma su 6 esercizi, ho solo un'idea di come farne uno e magari è anche sbagliata :roll:

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Re: limiti dove compare la parte intera

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 8 dicembre 2015, 19:22

Joninho ha scritto:Avrei da risolvere questi limiti:

lim 1/x - [1/x]
x-> 0
Qui il mio professore mi ha solo detto che il limite non esiste e di dimostrarlo con il lim sup e lim inf però non saprei come muovermi


non basterebbe osservare che 1/x - [1/x] = z - [z] (detta funzione mantissa) è periodica quindi non ha limite? :roll:

Joninho ha scritto:lim 1/x^2 - [1/x]
x->0


raccogliendo 1/x^2?

per gli altri così al volo non saprei...ci darò un'occhiata

PS per scriver ele formule devi usare il simbolismo LaTeX https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics selezioanre il testo formattato e premere il tasto "tex" nella barra qui in alto
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Re: limiti dove compare la parte intera

#3 Messaggioda Joninho » martedì 8 dicembre 2015, 20:24

la mantissa l'abbiamo fatta solo ad informatica, mi ricordo solo che il mio professore mi disse di dimostrare che non ha limite calcolando il lim inf/sup
per la seconda cosa, potrei scrivere parte intera di 1/x come 1 / [x] e una volta raccolto 1/x^2 confrontare x^2/[x]?

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Re: limiti dove compare la parte intera

#4 Messaggioda GIMUSI » martedì 8 dicembre 2015, 20:32

Joninho ha scritto:la mantissa l'abbiamo fatta solo ad informatica, mi ricordo solo che il mio professore mi disse di dimostrare che non ha limite calcolando il lim inf/sup


per dimostrarlo formalmente credo...però mi pare scontato che non abbia limite essendo periodica (come sinx o cosx ad esempio)

Joninho ha scritto:per la seconda cosa, potrei scrivere parte intera di 1/x come 1 / [x] e una volta raccolto 1/x^2 confrontare x^2/[x]?


x^2/[x] dovrebbe tendere a zero no? quindi il limite dovrebbe andare a +inf...scusa ma l'ho fatto solo a mente ma credo sia così...prova poi mi dici

intanto allego un possibile svolgimento degli ultimi due...fammi sapere che ne pensi...ciao :)

[EDIT] ho postato più avanti le soluzioni corrette sulla base delle indicazioni del prof
Ultima modifica di GIMUSI il mercoledì 9 dicembre 2015, 23:19, modificato 1 volta in totale.
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Re: limiti dove compare la parte intera

#5 Messaggioda Joninho » martedì 8 dicembre 2015, 20:52

nel primo limite stoltz-cesaro non l'abbiamo fatto quindi non ti saprei dire... ad esempio, se pongo n=t^2? così a numeratore si leverebbe la radice e otterrei t! e a numeratore sicuramente qualcosa di minore
nel secondo limite invece, il risultato si fa zero però Taylor ancora non l'abbiamo fatto XD

edit. ho verificato che x^2/[x] non esiste in quanto il limite sinistro è 0 e quello destro è infinito, quindi cosa possiamo dire della funzione? Ho la somma di infinito con una funzione che non esiste moltiplicata per infinito

p.s. in ogni caso grazie per l'aiuto :D
Ultima modifica di Joninho il martedì 8 dicembre 2015, 21:58, modificato 1 volta in totale.

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Re: limiti dove compare la parte intera

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 8 dicembre 2015, 21:34

Per mostrare che un limite non esiste basta trovare le due successioni opportune. In questo caso

a_n=\dfrac{1}{n}\quad\quad b_n=\dfrac{2}{2n+1}

bastano e avanzano per avere la non esistenza del primo e del terzo limite (sono fatte in modo da andare a 0 ed avere, dentro la parte intera, una volta un intero ed una volta un intero più 1/2).

[EDIT: qui sul terzo limite ho preso una cantonata interpretando male le parentesi quadre "esterne" ... la correzione è in uno dei post successivi]


Per mostrare che il secondo limite fa + infinito basta usare un confronto. Dopo aver osservato che [z]\geq z-1 sempre, si ottiene subito che

\dfrac{1}{x^2}-\left[\dfrac{1}{x}\right]\geq\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+1

da cui la tesi con poca fatica.

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Re: limiti dove compare la parte intera

#7 Messaggioda Joninho » martedì 8 dicembre 2015, 21:59

Massimo Gobbino ha scritto:Per mostrare che un limite non esiste basta trovare le due successioni opportune. In questo caso

a_n=\dfrac{1}{n}\quad\quad b_n=\dfrac{2}{2n+1}

bastano e avanzano per avere la non esistenza del primo e del terzo limite (sono fatte in modo da andare a 0 ed avere, dentro la parte intera, una volta un intero ed una volta un intero più 1/2).

Per mostrare che il secondo limite fa + infinito basta usare un confronto. Dopo aver osservato che [z]\geq z-1 sempre, si ottiene subito che

\dfrac{1}{x^2}-\left[\dfrac{1}{x}\right]\geq\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+1

da cui la tesi con poca fatica.


Che onore io e i miei compagni la veneriamo, gentilissimo :D :D

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Re: limiti dove compare la parte intera

#8 Messaggioda GIMUSI » martedì 8 dicembre 2015, 22:11

allora per i primi tre ora è tutto chiaro...scusami se sul secondo ti ho depistato :roll:
[edit] anzi no non ti avevo depistato si può fare anche in quell'altro modo :wink:

resta da vedere se per quelli su N si riesce a trovare strade più semplici e dirette
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Re: limiti dove compare la parte intera

#9 Messaggioda GIMUSI » martedì 8 dicembre 2015, 22:34

allego per completezza anche lo svolgimento dei primi tre, secondo le indicazioni del prof per il 1°e di joninho per il 3°

[EDIT] la rev01 dovrebbe essere l'ultima (si spera) con il 3° esercizio corretto come da segnalazione di joninho

[EDIT2] la rev02 corregge un'ulteriore imprecisione nella 3 segnalata dal prof
Allegati
151208 - limiti dove compare la parte intera 02_rev02.pdf
(44.12 KiB) Scaricato 25 volte
Ultima modifica di GIMUSI il mercoledì 9 dicembre 2015, 23:17, modificato 5 volte in totale.
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Re: limiti dove compare la parte intera

#10 Messaggioda Joninho » mercoledì 9 dicembre 2015, 2:22

GIMUSI ha scritto:allego per completezza anche lo svolgimento dei primi tre secondo le indicazioni del prof per il 1° e il 3°


non mi tornano un po di cose; nel terzo esercizio se utilizzo la prima successione x=1/n mi ritrovo n^2 [n-[n]] cioè infinito per 0, possiamo dire che va a 0?
quando poi utilizzo la seconda successione (2n+2)/2 in ogni caso all'intero della parte intera più interna (scusatemi il gioco di parole) mi ritrovo n+1/2 che è n. All'interno della parte intera più esterna quindi mi ritrovo la differenza tra la successione di partenza e n che fa appunto [1/2] che fa 0, quindi alla fine mi ritrovo la successione di partenza, elevata al quadrato per 0

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Re: limiti dove compare la parte intera

#11 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 9 dicembre 2015, 8:42

Joninho ha scritto:nel terzo esercizio se utilizzo la prima successione x=1/n mi ritrovo n^2 [n-[n]] cioè infinito per 0, possiamo dire che va a 0?


sì perché [n-[n]] = 0 quindi (per ogni n) n^2 [n-[n]]=0 (e quindi tende a 0)

Joninho ha scritto:quando poi utilizzo la seconda successione (2n+2)/2 in ogni caso all'intero della parte intera più interna (scusatemi il gioco di parole) mi ritrovo n+1/2 che è n. All'interno della parte intera più esterna quindi mi ritrovo la differenza tra la successione di partenza e n che fa appunto [1/2] che fa 0, quindi alla fine mi ritrovo la successione di partenza, elevata al quadrato per 0


hai ragione, vale la tua prima considerazione, il limite esiste e fa zero!
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Re: limiti dove compare la parte intera

#12 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 9 dicembre 2015, 9:57

Ops :oops: , scusate, sul terzo avevo perso la doppia parentesi quadra con il significato di parte intera. A questo punto basta osservare che per ogni z vale la disuguaglianza

0\leq z-[z]<1

e quindi

[z-[z]]=0

per ogni z, dunque il terzo limite è "finto", cioè è limite di roba che è sempre nulla.

Anche il quinto limite è finto, dal momento che un facile conto mostra che

n<\sqrt{n^2+1}<n+1

per ogni intero positivo n, e quindi

\left[\sqrt{n^2+1}\right]=n

Un attimo più delicato è quello con il fattoriale. In questo caso però il denominatore è decisamente troppo debole. Basta quindi osservare che

k!\geq (k-5)^5

per ogni k abbastanza grande, quindi

\left[\sqrt{n}\,\right]!\geq\left(\left[\sqrt{n}\,\right]-5\right)^5\geq\left(\sqrt{n}-6\right)^5

A questo punto si sostituisce e si chiude per confronto.

Insomma, in poche parole, la parte intera non può far male più di tanto. Quando causa non esistenza, basta usare differenti successioni che producano interi oppure interi più qualcosa (al esempio 0.5 o 0.99). Negli altri casi si usano le stime banali (occhio che è stretta da una parte ma non dall'altra)

a-1<[a]\leq a

e di solito le cose si sistemano. Comunque questa discussione mi ha dato una bella idea: quando rifarò analisi 1 aggiungerò all'eserciziario qualche esercizio con la parte intera (e a questo punto anche la parte frazionaria :D ).

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Re: limiti dove compare la parte intera

#13 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 9 dicembre 2015, 10:02

@GIMUSI: occhio che la disuguaglianza

\left[\dfrac{1}{x}\right]\leq\dfrac{1}{x-1}

non è vera: basta provare con x=1/2. In quel punto, volendo seguire il tuo approccio, dovresti usare più banalmente

\left[\dfrac{1}{x}\right]\leq\dfrac{1}{x}

cioè la solita stima dall'alto per la parte intera.

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Re: limiti dove compare la parte intera

#14 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 9 dicembre 2015, 10:28

Massimo Gobbino ha scritto:@GIMUSI: occhio che la disuguaglianzanon è vera...


mannaggia a 'ste parti intere!!! :cry:
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Re: limiti dove compare la parte intera

#15 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 9 dicembre 2015, 10:29

GIMUSI ha scritto:Comunque questa discussione mi ha dato una bella idea: quando rifarò analisi 1 aggiungerò all'eserciziario qualche esercizio con la parte intera (e a questo punto anche la parte frazionaria ).


per i futuri studenti...io mi dissocio è tutta colpa (o merito) di joninho eh!!!
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