Potenze contro fattoriali

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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francicko
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Potenze contro fattoriali

#1 Messaggioda francicko » lunedì 21 dicembre 2015, 10:16

lim_{n\to\+infty}(n^n)/(n!)=infty;
lim_{n\to\+infty}(n^n)/((2n)!)=0{;
E ' possibile dare una dimostrazione elementare di questi due limiti?
Il primo e' evidente che va ad infinito, Comunque va sempre dimostrato in maniera rigorosa, come?

[Edit by Massimo GOBBINO] Ho cambiato il titolo perché il precedente era troppo generico (usare come titolo "Limite" nella sezione dei limiti non dice molto :? ).

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Re: calcolo limiti

#2 Messaggioda GIMUSI » lunedì 21 dicembre 2015, 13:19

sono limiti trattati ampiamente a lezione mi pare...per la dimostrazione mi paiono fatti a posta per un bel criterio del rapporto
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Re: calcolo limiti

#3 Messaggioda francicko » lunedì 21 dicembre 2015, 15:24

Ok, grazie!
Volendo per la risoluzione si potrebbe usare qualcosa di diverso dal criterio del rapporto?
Potreste darmi una mano per la soluzione di questi altri due limiti di successioni

\lim \dfrac{n\log n}{\log[(2n)!]}

\lim \dfrac{1+1/2+1/3+\ldots+1/n}{\log n}

Grazie!

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato le formule.

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Re: calcolo limiti

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 21 dicembre 2015, 18:46

Uhm, temo che per i primi 2 qualunque cosa sia equivalente al criterio del rapporto, o per lo meno ad una sua dimostrazione in quel caso particolare. Detto altrimenti, uno può stimare in vari modi il fattoriale dall'alto e dal basso, ad esempio isolando una parte dei termini, ma così facendo sta sostanzialmente ri-dimostrando il criterio del rapporto.

Gli altri due limiti invece mi sembrano fatti apposta per il confronto serie-integrali.

Poi ovviamente si possono fare tutti anche con Stirling, ma quello è davvero un cannone spacca-tutto!

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Re: calcolo limiti

#5 Messaggioda francicko » lunedì 21 dicembre 2015, 20:53

Grazie infinite per le risposte!
La serie 1+1/2+1/3+....+1/nper n->inftye' asintotica ad ~logn?
Come lo si può dimostrare( in 0 la funzione $1/x $ non e' definita).

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Re: calcolo limiti

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 23 dicembre 2015, 16:43

L'asintotica per quella sommatoria si dimostra con le disuguaglianze di confronto con gli integrali. La cosa è spiegata tutti gli anni, compreso il fatto che il comportamento a 0 della funzione è irrilevante. Ad esempio è spiegato alla lezione 67 dell'anno scorso.

Quello che uno ottiene (guardando il solito disegno oppure più formalmente per induzione) è la disuguaglianza

\displaystyle\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx\leq 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\leq 1+\int_1^n\frac{1}{x}\,dx

da cui l'asintotica richiesta.

Un paio di disuguaglianze che possono aiutare a fare i primi due limiti con soli confronti elementari sono le seguenti (si ottengono banalmente maggiorando/minorando i termini del fattoriale):

n!\leq n^{n-1}

(2n)!\geq n^{n+1}

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Re: calcolo limiti

#7 Messaggioda francicko » sabato 2 gennaio 2016, 10:39

Grazie!

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Re: calcolo limiti

#8 Messaggioda GIMUSI » sabato 2 gennaio 2016, 12:42

per i primi due limiti allego uno svolgimento di riepilogo secondo i diversi metodi discussi qui nel thread:
1 - criterio del rapporto
2 - confronto
3 - approssimazione di stirling
Allegati
160102 - calcolo limiti 01.pdf
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Re: calcolo limiti

#9 Messaggioda GIMUSI » domenica 3 gennaio 2016, 16:17

allego anche uno svolgimento per gli altri due limiti secondo i metodi discussi qui nel thread:
1 - confronto serie-integrali (per entrambi)
2 - approssimazione di stirling (mi pare applicabile solo al primo :?: )
Allegati
160103 - calcolo limiti 02.pdf
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