Pagina 1 di 1

limite

Inviato: venerdì 15 gennaio 2016, 19:28
da francicko
Scusate volevo sapere se dire che studiare il seguente limite \lim_{x\to 0}\log (1+x)/x^{a}, con a parametro variabile in \mathbb{R}, equivale a \lim_{x->0}x/x^{a};

Re: limite

Inviato: venerdì 15 gennaio 2016, 22:35
da Carmine
Direi di si, in quanto:

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x^a} \cdot \frac{x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{x^a}

Ora:

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1,

il quale è un valore finito diverso da 0, e dunque si può procedere alla sostituzione del limite nell'espressione. Da qui ottieni quanto voluto:

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} 1 \cdot \frac{x}{x^a} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^a}

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho aggiunto i \displaystyle nei limiti :wink: (l'occhio vuole la sua parte).