Pagina 1 di 1

Dim. Limite e disuguaglianze

Inviato: giovedì 1 dicembre 2016, 10:37
da DavidMath
Sia [math] Provare che

[math]

Non posso utilizzare nè Bernoulli-Hopital nè limiti notevoli per la risoluzione dell'esercizio..

Dimostra le due disuguaglianze tramite il calcolo differenziale o altro.
[math] vale la disuguaglianza [math]

e
[math] vale la disuguaglianza [math]

La seconda si ottiene dalla prima derivando.

Ho provato a svolgere il limite usando il teorema dei carabinieri
[math]

[math]
[math] di conseguenza
[math]

Va bene o bisogna usare un altro procedimento per dimostrare il limite? Grazie

Re: Dim. Limite e disuguaglianze

Inviato: venerdì 2 dicembre 2016, 0:43
da GIMUSI
allego un possibile svolgimento dei due esercizi

se vuoi provare prima da solo:

[+] HINT limite
il limite con l'E-ALLA diventa banale


[+] HINT diseguaglianze
per le diseguaglianze bastano semplici studi di funzione; ne ho svolto solo una, l'altra è analoga e si può risolvere in modo analogo


PS credo che le diseguaglianze vadano negli studi di funzione; in generale sarebbe opportuno postare un esercizio per ciascun thread soprattutto se relativi a sezioni diverse

Re: Dim. Limite e disuguaglianze

Inviato: venerdì 2 dicembre 2016, 1:29
da DavidMath
Okok ricevuto grazie per la dritta!

Re: Dim. Limite e disuguaglianze

Inviato: sabato 3 dicembre 2016, 12:40
da Massimo Gobbino
DavidMath ha scritto:Non posso utilizzare nè Bernoulli-Hopital nè limiti notevoli per la risoluzione dell'esercizio..


Mah, questo esercizio non lo capisco proprio. Cosa vuol dire che non si possono usare limiti notevoli? Visto che la risposta è [math], mi pare scontato che il numero [math] dovrà entrare in qualche modo ... e quel numero è definito proprio come limite notevole.

Certo una soluzione potrebbe passare per la disuguaglianza

[math]

A quel punto basta sostituire x=1/n, quindi concludere con i carabinieri.

Tuttavia ... come si dimostra quella disuguaglianza? Ad esempio con Taylor-Lagrange, il che richiede di calcolare le derivate prima e seconda di [math], e le formule per derivare gli esponenziali sono equivalenti al limite notevole con gli esponenziali ... dunque i limiti notevoli sono solo nascosti sotto il tappeto.