Dubbio esercizio con sviluppo di Taylor

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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BlackSavior
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Dubbio esercizio con sviluppo di Taylor

#1 Messaggioda BlackSavior » martedì 20 febbraio 2018, 16:37

Buongiorno,
ho un problema con questo esercizio. In particolare sono riuscito a trovare il parametro a=1 ottenendo così f(x)=(-x^2)/2.
La mia difficoltà sta nel capire perchè la mia professoressa durante la correzione sin dal primo passaggio abbia diviso tutto per x^2; in tal modo il risultato per a=1 sarebbe f(x)=-1/2, che non è nemmeno un polinomio. Ovviamente le ho chiesto spiegazioni, ma la risposta non è stata d'aiuto. Grazie in anticipo.
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l.speciale
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Re: Dubbio esercizio con sviluppo di Taylor

#2 Messaggioda l.speciale » mercoledì 21 febbraio 2018, 16:23

Utilizzando la definizione quasi equivalente di equivalenza asintotica imporre che [math] abbia ordine di infinitesimo [math] per [math] vuol dire che esiste un [math] reale diverso da [math] tale che $$\lim_{x\to 0} {f(x) \over cx^2} =1 \iff \lim_{x\to 0} {f(x) \over x^2} =c$$
Ora facendo qualche passaggio ottieni:
$$\lim_{x\to 0} {x \cos{x} - \log(1+ax) \over x^2} =\lim_{x\to 0} {x (1+o(x))-ax+a^2 \cdot {x^2 \over 2}+o(x^2) \over x^2}=\lim_{x\to 0} {(1-a)x+x^2 \cdot {a^2 \over 2}+o(x^2)\over x^2}$$
Perchè questo sia reale come avevi trovato deve essere [math] e questo conclude le richieste dell'esercizio. Il tuo procedimento ti ha portato ad affermare [math] che è equivalente a [math].

BlackSavior
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Re: Dubbio esercizio con sviluppo di Taylor

#3 Messaggioda BlackSavior » mercoledì 21 febbraio 2018, 18:57

Capisco, grazie mille per la risposta :)

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Massimo Gobbino
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Re: Dubbio esercizio con sviluppo di Taylor

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 25 febbraio 2018, 22:55

BlackSavior ha scritto:in tal modo il risultato per a=1 sarebbe f(x)=-1/2, che non è nemmeno un polinomio.


Questa frase è piena zeppa di inesattezze. Intanto [math] è un polinomio, così come lo sono tutte le costanti.

Poi quello che è vero per [math] è che

[math]

La dimostrazione la puoi anche fare senza dividere, ma limitandoti a sviluppare tutto all'ordine 2. La versione minimalista è la seguente (da esaminare e capire bene soprattutto per quanto riguarda la gestione di o piccolo):

[math]

A questo punto è evidente che occorre porre [math] per mandare via il termine di ordine 1, e restare solo con il termine di ordine 2.

P.S. Già che ci sono, sposto questa discussione nella sezione corretta.


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