Limiti "metà alla volta"

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
Messaggio
Autore
elmuz
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: sabato 17 marzo 2018, 13:40

Limiti "metà alla volta"

#1 Messaggioda elmuz » domenica 18 marzo 2018, 1:53

Ciao a tutti,
sto studiando in autonomia per passione le lezioni di analisi 1 del prof Gobbino. Sto seguendo le ultime video lezioni (2017) con interesse. Scrivo qui perché sono ancora confuso sul *pericolosissimo* approccio ai limiti con svolgimento 'a metà'. Già qualche lezione fa non mi era chiarissimo; ora che è ritornato con De L'Hopital ho deciso di venirne a capo.
Ad esempio, prendiamo il pdf della Lezione 27 pag 2 (AM1_17_L027.pdf). Il prof dice che "non si può lasciare la 'x' per poi affrontarla in un secondo momento". Non mi è chiarissimo cosa cambia rispetto all'approccio corretto dei limiti notevoli in cui riconosco un limite notevole e lo affronto uno alla volta, "dando ad ognuno ciò che vuole".
Per caso... il problema è che ho "[LIM.NOTEVOLE] * qualcosa"? Oppure il problema è avere "[LIM.NOTEVOLE] * 0"?
Per quanto riguarda la somma mi sento sicuro... se ogni addendo è un limite notevole sono autorizzato a sostituire... in più direi che per linearità anche nel caso di limite notevole per costante è lecito. Nel caso del prodotto? Se i due fattori sono limiti notevoli sono autorizzato a sostituirli? È forse il problema di avere qualcosa per zero o infinito?
Oppure, nel caso di funzioni composte tipo e^[lim.notevole] o sin([lim.notevole])?
Morale: qual è la regola per capire se sto facendo un limite 'metà per volta'?
C'è qualche linea guida (qualche link a siti/libri va bene lo stesso) per non lasciarsi ingannare?
Grazie in anticipo

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1099
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Limiti "metà alla volta"

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 20 marzo 2018, 19:49

Sì in generale lo svolgimento dei limiti metà per volta è da evitare perché può condurre a valutazioni errate, quindi quando possibile è meglio non farlo (questa è l'unica regola generale certa).

Ovviamente esistono delle eccezioni e anche se non ho mai trovato una regola generale per queste, direi che in alcuni casi banali la sostituzione è possibile, ad esempio

- la sostituzione è certamente possibile, ad esempio, quando si ha a che fare con espressioni del tipo [math] e [math], allora si può calcolare il limite di [math].

- anche per espressioni del tipo [math] e [math], allora si può calcolare il limite di [math].

Più in generale quando ricorrono condizioni analoghe a quelle richieste per l'applicazione dei teoremi algebrici, direi che è possibile calcolare delle porzioni di limite metà per volta ma in altri casi è meglio evitare.

Con riferimento all'esempio della lezione 27 AM1_17, se avessimo una espressione del tipo [math] allora saremmo autorizzati ad osservare che [math] e calcolare direttamente il solo limite di mostro(x). Nell'esempio [math] invece la sostituzione non è lecita perché è vero che [math] ma non la quantità è esattamente zero e i termini di ordine [math] giocano un ruolo determinante.
GIMUSI

elmuz
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: sabato 17 marzo 2018, 13:40

Re: Limiti "metà alla volta"

#3 Messaggioda elmuz » mercoledì 21 marzo 2018, 0:16

Ok, grazie per la risposta. Intanto mi appiglierò ai due esempi (somma e rapporto con denominatore 'safe') e sul resto proverò ad andare a "sensibilità". Rimane però strano il fatto che non ci siano paletti sicuri nel procedere, e che sia per lo più un approccio euristico.
Grazie

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1099
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Limiti "metà alla volta"

#4 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 21 marzo 2018, 13:06

elmuz ha scritto:...e sul resto proverò ad andare a "sensibilità"...


Sì alla fine si tratta anche di sensibilità ma basata su una buona conoscenza degli sviluppi di Taylor (capire quali termini contano) e tanta esperienza su esercizi.

Taylor è un paletto più che sicuro, è un Totem! :D
GIMUSI


Torna a “Limiti”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti