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Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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gigi_15
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limiti

#1 Messaggioda gigi_15 » lunedì 3 marzo 2008, 18:03

scusate ho trovato problemi a svolgere questo limite...

lim (log(x+3) - log(x+2))^(4/logx)
x->(+inf)

chi mi può aiutare....???

Distruggiu
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Re: limiti

#2 Messaggioda Distruggiu » venerdì 1 agosto 2008, 13:26

gigi_15 ha scritto:scusate ho trovato problemi a svolgere questo limite...

lim (log(x+3) - log(x+2))^(4/logx)
x->(+inf)

chi mi può aiutare....???


lim log [(x+3)/(x + 2)]^(4/logx)
x->+oo

@MassimoGobbino: Right

Da qui notiamo che (x + 3)/(x + 2) = 1 + 1/(x + 2)

lim (log [1 + 1/(x + 2)])^(4/logx)
x->+oo

Se risolviamo il limite

lim [1 + 1/(x + 2)]^(x + 2)
x->+oo

Otteniamo e. Pertanto possiamo rendere il nostro limite nel modo seguente

lim (x + 2)^(4/logx) * (log [1 + 1/(x + 2)])^(4/logx)
x->+oo (x + 2)^(4/log x)

log [1 + 1/(x + 2)]^(x + 2) --> e

Quindi il limite si riduce a

lim e^(4/logx)
x->+oo (x + 2)^(4/log x)

lim e^(4/logx)
x->+oo e^(4 log(x + 2) /log x)

A questo punto con Hopital si riesce a determinare il limite

lim log (x + 2)
x->+oo log x

che va a 1. Pertanto

lim e^(4/logx)
x->+oo e^4

Andrà a 1/e^4, per x -> +oo
Ultima modifica di Distruggiu il mercoledì 15 ottobre 2008, 0:39, modificato 1 volta in totale.

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Re: limiti

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 4 agosto 2008, 10:05

Distruggiu ha scritto:Per la proprietà dei logaritmi : log a^b = b log a


Ehm, ma qui è [log a]^b e non log(a^b). :(

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