limiti 11: esercizio 7, prima colonna.

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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bech
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limiti 11: esercizio 7, prima colonna.

#1 Messaggioda bech » martedì 1 febbraio 2011, 18:01

salve a tutti, potreste dammi qualche dritta su come impostare l'esercizio?
lim x->0 {tan [(arccosx)/2}^1/x
grazie in anticipo.
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Re: limiti 11: esercizio 7, prima colonna.

#2 Messaggioda Ifrit_Prog » martedì 1 febbraio 2011, 19:12

bech ha scritto:salve a tutti, potreste dammi qualche dritta su come impostare l'esercizio?
lim x->0 {tan [(arccosx)/2}^1/x
grazie in anticipo.


Dopo tanto sudore ci sono riuscito O.o'' e un limite bruttissimo...
Io ho usato "e alla" per risolverlo, ma dopo un po ho dovuto inventarmi un "trucco" per far si che tutto funzioni....

Appena hai placato i tuoi dubbi posto la mia soluzione, magari il prof puo' darmi una dritta su come risolvere il limite senza usare il giro assurdo che ho fatto O.o''
Ultima modifica di Ifrit_Prog il mercoledì 2 febbraio 2011, 9:00, modificato 1 volta in totale.
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#3 Messaggioda Ifrit_Prog » martedì 1 febbraio 2011, 19:33

Scusate il doppio post =( ma ho scansionato solo ora :X

Ecco qui:
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Spero che il prof mi illumini :shock: :?: :!: :?: :!: tanto gia' so che e' tutta colpa della mia carenza sulla trigonometria =(
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#4 Messaggioda bech » martedì 1 febbraio 2011, 22:01

in effetti sei riuscito a risolverlo con una "genialata" che difficilmente mi sarebbe venuta in mente! spero ci sia anche un altro metodo risolutivo più semplice altrimenti è davvero impossibile questo limite!! in ogni caso ho capito i tuoi passaggi..grazie mille per la disponibilità e la chiarezza!!
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#5 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 2 febbraio 2011, 8:51

Un approccio alternativo a questo limite può essere di usare sviluppi di Taylor in punti "non canonici" (e bastano di ordine 1 perché al denominatore c'è solo x). Questi ovviamente vanno calcolati con la formula per i polinomi di Taylor in funzione delle derivate nel punto in cui si sviluppa.

Si inizia quindi sviluppando arccos in 0:

arccos x = pi/2 -x +o(x)

a questo punto

tan [(arccos x)/2] = tan [pi/4 -x/2 +o(x)]

e quindi bisogna usare lo sviluppo di tan in pi/4

tan(pi/4 +y) = 1 +2y +o(y)

Sostituendo ad y quello che deve essere il limite è praticamente venuto.

Per una soluzione più "precorsistica" si può partire dalla relazione

arccos x = pi/2 - arcsin x

poi usare le formule di addizione della tangente ed infine i limiti notevoli.


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