limiti 9 , quarto seconda colonna

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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kika2991
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limiti 9 , quarto seconda colonna

#1 Messaggioda kika2991 » martedì 20 dicembre 2011, 1:29

Salve a tutti.
Avrei un problema con questo limite . Limiti 9 ,quarto,seconda colonna.
cerco di scriverlo nel modo più chiaro possibile

log(1+sin^2x)-x^2 tutto fratto sin^2(tan^2x)


ora lo sto facendo con taylor.
al denominatore mi esce x^4 +o(x^4) ,ho fatto un po' di equivalenze asintotiche , il problema è al numeratore. Dovrei fermarmi all'ordine 4. Quindi ho pensato sin^2x=x^2 . quindi sviluppando log(1+x^2) sarebbe x^2 -x^4/2 + o(x^4) ... ma c'è qlks che non va. dove sbaglio ??????

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Re: limiti 9 , quarto seconda colonna

#2 Messaggioda Ifrit_Prog » giovedì 22 dicembre 2011, 19:16

kika2991 ha scritto:Salve a tutti.
Avrei un problema con questo limite . Limiti 9 ,quarto,seconda colonna.
cerco di scriverlo nel modo più chiaro possibile

log(1+sin^2x)-x^2 tutto fratto sin^2(tan^2x)


ora lo sto facendo con taylor.
al denominatore mi esce x^4 +o(x^4) ,ho fatto un po' di equivalenze asintotiche , il problema è al numeratore. Dovrei fermarmi all'ordine 4. Quindi ho pensato sin^2x=x^2 . quindi sviluppando log(1+x^2) sarebbe x^2 -x^4/2 + o(x^4) ... ma c'è qlks che non va. dove sbaglio ??????


mmmh guarda non so se ti conventa poi cosi tanto usare taylor....
dopotutto il denominatore lo puoi scrivere come:
(x^2) * ((sin(tan^2(x))/tan(x))*(tan(x)/x))^2

usi lo stesso ragionamento per il numeratore e metti in evidenza un x^2, indi alla fine ti ritrovi con una composizione di limiti notevoli.... ora non ho tempo per controllare, ma a occio dovrebbe tendere a -2 =X
Se cerchi di dimostrare l'esistenza di Dio, finirai per cercare di dimostrare l'assurdo...
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Jonathanpizzicoli
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limiti 9 , quarto seconda colonna

#3 Messaggioda Jonathanpizzicoli » venerdì 13 gennaio 2012, 12:23

Anche io trovo difficoltà in questo limite..e dovrebbero servire gli sviluppi in quanto i limiti notevoli sono ok quando basterebbero gli sviluppi di grado 1,ma qua credo non basti..poi tende a -5/6..

matthew92
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#4 Messaggioda matthew92 » venerdì 13 gennaio 2012, 17:44

1) per il denominatore:
tan(x)= x + (x^3)/3 + o(x^4)
tan^2(x)= x^2 + (2/3)x^4 + o(x^4)
sin(t)= t - (t^3)/6 = x^2 + (2/3)x^4 + ((x^2 + (2/3)x^4)^3)/6 + o(x^4)
ora il polinomio ^3neanche a farlo perchè tanto sempre > x^4, quindi si poteva sviluppare il seno anche di ordine 1
sin^2(t)=(x^2 + (2/3)x^4)^2 + o(x^4)= x^4 + o(x^4)

2) per il numeratore:
sin(x)= x^2 -(x^3)/6 + o(x^4)
sin^2(x) = x^4 - (x^4)/3
log(1+t)= t - (t^2)/2 = x^2 -(x^4)/3 -((x^2 -(x^4)/3)^2)/2 = x^2 -(x^4)/3 - (x^4)/2 + o(x^4)= x^2 - (5/6)x^4 + o(x^4)
quindi il numeratore è:
- (5/6)x^4 + o(x^4)

e dividendo opportunamente, facendo i rigorosi, il limite viene: -5/6

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#5 Messaggioda Jonathanpizzicoli » venerdì 13 gennaio 2012, 18:01

Risolto con gli sviluppi..commettevo errori nel calcolo delle potenze dei suddetti! Allora..
ho usato un grado = 6 nello sviluppo ma va bene anche 4 (credo :D ).
Effettuati i primi sviluppi di log e sin^2 ottengo

lim {[sin^2 x - (sin^4 x)/2 + (sin^6 x)/3 + o(sin^6 x) - x^2] / [ tg^4 x + o(tg^6 x)]}
x->0

da cui sviluppando poi

sin^2 x = x^2 - (x^4)/3 + (x^6)/96 + o(x^6)
sin^4 x = x^4 - 2(x^6)/3 + o(x^6)
sin^6 x = x^6 + o(x^6)
tg^4 x = x^4 + 4(x^6)/3 + o(x^6)
tg^6 x = x^6 + o(x^6)

sostituendo sopra arrivo a

lim [-5(x^4)/6 + 81(x^6)/96 + o(x^6)] / [x^4 + 4(x^6)/3 + o(x^6)] =
x->0

lim [-5(x^4)/6 + o(x^4)] / [x^4 + o(x^4)] =
x->0

-5/6

..spero di non aver fatto errori! :D

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#6 Messaggioda Jonathanpizzicoli » venerdì 13 gennaio 2012, 18:07

Nooo..stavo scrivendo e non mi sono accorto che avevano già risposto!! :roll:


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