Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#1 Messaggioda catarsiaffa » mercoledì 11 luglio 2012, 11:12

Ho problemi con questi due limiti, credo che mi sfugga qualcosa!:(

lim n->+00 (2+ (1/n) )^n -2^n

lim n->+00 (2+ (1/n*2^n) )^n - 2^n
"Carpe diem, quam minimum credula postero."

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#2 Messaggioda CoTareg » martedì 17 luglio 2012, 0:29

Mah, io metterei in evidenza il 2 nella parentesi, in modo da poter avere qualcosa del tipo (1 + "roba --> 0")^"qualcosa --> +00".
A questo metterei in evidenza il 2^n comune ai due termini e poi vai avanti con E-alla.

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#3 Messaggioda catarsiaffa » martedì 17 luglio 2012, 10:44

Arrivo a e^log{2^n * [(1+ 1/(2n))^n -1]} ma l'argomento del logaritmo è +00 * 0...
"Carpe diem, quam minimum credula postero."

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#4 Messaggioda CoTareg » mercoledì 18 luglio 2012, 11:05

Beh, il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi... anche se io avrei lasciato il 2^n direttamente "a piano terra". Io applicherei E-alla solo al coso strano 1^+00.

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 21 luglio 2012, 21:01

CoTareg ha scritto:anche se io avrei lasciato il 2^n direttamente "a piano terra". Io applicherei E-alla solo al coso strano 1^+00.

Saggia decisione :lol:, e linguaggio da vero "brutal mode" :lol: :lol:

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#6 Messaggioda Noisemaker » martedì 11 settembre 2012, 9:59

catarsiaffa ha scritto:Ho problemi con questi due limiti, credo che mi sfugga qualcosa!:(

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n

\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n



1) \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n=\lim_{n \to +\infty}2^n\left[\frac{ \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n}{2^n}-1\right] =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n  -1\right] =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^n  -1\right] =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^{2n\cdot\frac{1}{2}}  -1\right] =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left( e^{\frac{1}{2}}    -1\right)=+\infty


2)
\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n

\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\frac{\left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n}{2^n} -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(\frac{2+ \frac{1}{n\cdot2^n}}{2} \right)^n -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(\frac{ 2n\cdot2^n+1}{2n\cdot2^n} \right)^n -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^n -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^{2n\cdot 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right] \sim\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}=\frac{1}{2 }

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#7 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 11 settembre 2012, 10:58

Brutalmente ci siamo, ma non è corretto "fare i limiti metà per volta", cosa che accade tutte le volte in cui ad una certa espressione viene sostituito il numero $e$, passando al limite solo in quella parte :? .

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#8 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 12 settembre 2012, 12:39

Massimo Gobbino ha scritto:Brutalmente ci siamo, ma non è corretto "fare i limiti metà per volta", cosa che accade tutte le volte in cui ad una certa espressione viene sostituito il numero $e$, passando al limite solo in quella parte :? .


quindi correttamente dovrei scrivere cosi?

\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^{2n\cdot 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right], \quad \mbox{posto} \quad 2n\cdot 2^n=t , t \to+\infty

\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{t \to+ \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t} \right)^{t\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right]= \displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{t \to+ \infty}\left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n}\ln \left(1+\frac{1}{t} \right)^{t }} -1\right]= \displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot  \left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n} } -1\right]= \displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{n \to+ \infty} \left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n} } -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}=\frac{1}{2 }

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 12 settembre 2012, 14:19

No, così stai nascondendo la sporcizia sotto il tappeto, introducendo un limite doppio che andrebbe giustificato ... La prima uguaglianza della terza riga poi è un vero orrore (rigorosamente parlando), con un limite che diventa qualcosa di dipendente da n ...

Bisogna fare "e-alla" e poi usare il limite notevole con l'esponenziale, oppure un po' di sviluppini con relativi o piccolo.

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Re: Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

#10 Messaggioda Noisemaker » giovedì 13 settembre 2012, 11:29

Massimo Gobbino ha scritto:No, così stai nascondendo la sporcizia sotto il tappeto, introducendo un limite doppio che andrebbe giustificato ... La prima uguaglianza della terza riga poi è un vero orrore (rigorosamente parlando), con un limite che diventa qualcosa di dipendente da n ...

Bisogna fare "e-alla" e poi usare il limite notevole con l'esponenziale, oppure un po' di sviluppini con relativi o piccolo.


così ci sono ancora orrori?

\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n=\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)}  -e^{n\ln 2} =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[\frac{e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)}}{ e^{n\ln 2}}  -1 \right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)-  n\ln 2 }  -1 \right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)- \ln 2\right] }  -1 \right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln\left( \frac{2+ \frac{1}{n\cdot2^n} }{2}\right) \right]} -1\right] =\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right) \right]} -1\right] \stackrel{\bf(1)}{\sim}\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[  n \ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right)\right] \stackrel{\bf(2)}{\sim}\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[  n\cdot \frac{1}{n\cdot 2^{n+1}}  \right]= \displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  \frac{ e^{n\ln 2}}{ 2^{n+1}} = \displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  \frac{ 2^{n}}{ 2^{n}\cdot 2} =\frac{1}{2}

\stackrel{\bf(1)}{\sim}: \quad \mbox{essendo}\quad \displaystyle\lim_{n \to+ \infty}  n\ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right) \right]}=0

\stackrel{\bf(2)}{\sim}: \quad \mbox{essendo}\quad \displaystyle\lim_{n \to+ \infty}   \frac{1}{n\cdot2^{n+1} }=0


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