limite

Limiti di successioni e funzioni, formula di Taylor
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francicko
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limite

#1 Messaggioda francicko » mercoledì 19 settembre 2012, 18:44

Non riesco a calcolare in modo corretto il seguente limite per x->0, di 1/x^2-(1/(sinx)^2).
Resto in attesa di una risposta.
Grazie!

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Re: limite

#2 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 19 settembre 2012, 19:17

francicko ha scritto:Non riesco a calcolare in modo corretto il seguente limite per x->0, di 1/x^2-(1/(sinx)^2).
Resto in attesa di una risposta.
Grazie!


se il limite e questo

\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}

io farei cosi: anzitutto scriverei il limite come segue:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x}=\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}

ora ricordando che

\sin  x \sim x, \quad \mbox {quando}  \quad x\to 0

a denominatore abbiamo:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}\sim \lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^4}

ora utilizzando gli sviluppi di Taylor per il seno abbiamo che:

\displaystyle \sin  x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3), \quad \mbox {e dunque} \quad  \sin^2  x=\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)^2 :

allora il limite diviene:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin^2 x} = \displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^2\sin^2 x}\sim \displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{\sin^2 x- x^2}{x^4}\stackrel{\bf(T)}{=} \displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{ \left(x-\frac{x^3}{3!}\right)^2- x^2}{x^4} = \displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\, \frac{  x^2-\frac{2}{3!}\,\,x^4+o(x^4) - x^2}{x^4} = \displaystyle\lim_{x \to 0}\,\,\,-\frac{2}{3!}\cdot \frac{  x^4 }{x^4}=-\frac{1}{3}

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Re: limite

#3 Messaggioda francicko » giovedì 20 settembre 2012, 0:07

Mi interesserebbe conoscere una soluzione di tale limite, se possibile, senza l'uso dello sviluppo in serie di taylor.

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Re: limite

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 16:46

Dal momento che il limite coinvolge termini successivi dello sviluppo del seno, non si può fare con i soli limiti notevoli. Servono per forza strumenti di ordine superiore, come Taylor o De L'Hopital.

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Re: limite

#5 Messaggioda francicko » sabato 13 ottobre 2012, 9:38

Grazie per la risposta!!
Quindi se ad esempio ho il seguente limite per x tendente ad infinito,di (1-sin(1/n))^n, che da origine alla forma indeterminata 1 elevato infinito, posso risolverlo usando il fatto che all'infinito sin(1/n)
si approssima ad 1/n, quindi posso scrivere lim (1-sin(1/n)^n=lim (1-1/n)^n=lim(1+(1/-n))^n=lim((1+1/-n)^-^n)^-^1)=e^-^1)=1/e.
Mentre se ho il limite sempre per n tendente ad infinito, di (2-cos1/n) il tutto elevato ad n^2, allora sono costretto a ricorrere allo sviluppo in serie di taylor, ottenendo così come risultato finale la radice quadrata di 1/e, scusate se non sono riuscito a scrivere tutti i passaggi in latex, ma conosco ancora poco il linguaggio.

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Re: limite

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 13 ottobre 2012, 17:47

No, questo

\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(2-\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2}

si può fare con i soli limiti notevoli. Basta scriverlo come esponenziale e poi fare il limite dell'esponente sfruttando il limite notevole con il logaritmo. Conviene anche il cambio di variabili x=\displaystyle\frac{1}{n}.

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Re: limite

#7 Messaggioda francicko » giovedì 18 ottobre 2012, 9:57

Può darmi ,se possibile ,una traccia in pìù , perchè non riesco a risolverlo senza l'uso di taylor.

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Re: limite

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 18 ottobre 2012, 11:06

Dopo il cambio di variabili diventa

\displaystyle\lim_{x\to 0}(2-\cos x)^{1/x^2}

A questo punto uno lo scrive come esponenziale e si riduce a fare il limite dell'esponente

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}

Ora

\dfrac{\log(2-\cos x)}{x^2}}=\dfrac{\log(1+(1-\cos x))}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}

e siamo ridotti a limiti notevoli (per il primo fattore serve il cambio di variabili y=1-\cos x e osservare che, quando x\to 0, si ha che anche y\to 0 ).

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Re: limite

#9 Messaggioda francicko » sabato 7 settembre 2013, 21:44

Potrebbe andar bene anche così?
lim(2-cosx)^\left(1/x^2)=(1+(1-cosx))^\left(1/x^2)=(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))\left((1-cosx)/x^2), ed essendo che sempre per x->0 si ha lim(1+(1-cosx))^\left(1/(1-cosx))=e ed lim(1-cosx)/x^2=1/2 in definitiva avremo che il nostro limite di partenza sarà uguale ad e^\left(1/2)

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Re: limite

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 10 settembre 2013, 8:20

E' sostanzialmente la stessa cosa. Formalmente, il passaggio "e-alla" in cui si porta tutto all'esponente è quello che serve per giustificare il modo di operare su espressioni con basi ed esponenti variabili.

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Re: limite

#11 Messaggioda francicko » martedì 10 settembre 2013, 18:17

Grazie per la risposta!


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